Geodésica

Geodésica
Dos líneas geodésicas, en rojo, sobre una superficie curva, esas geodésicas coinciden con las trayectorias de dos partículas en el campo gravitatorio esférico de una masa central de acuerdo con la teoría general de la relatividad.
Triángulo geodésico sobre una esfera. La línea geodésica sería cualquiera de los arcos que forman los triángulos.

En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El plano osculador de la geodésica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.

Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la ruta más corta entre dos puntos en el espacio. Un ejemplo físico, de variedad semiriemanniana es el que aparece en la teoría de la relatividad general las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvo.

El término "geodésico" proviene de la palabra geodesia, la ciencia de medir el tamaño y forma del planeta Tierra; en el sentido original, fue la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra, específicamente, el segmento de un gran círculo.

Contenido

Ecuación de las geodésicas

En una superficie curva o variedad riemanniana la longitud LC a lo largo de una curva contenida en ella se evalúa gracias a las componentes gij del tensor métrico g del siguiente modo:

L_C = \int_C \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}x'_i(t)x'_j(t)} \ dt

Donde xi(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Todas las líneas geodésicas son extremales de la integral anterior. Para encontrar la ecuación de las geodésicas, consideraremos que dichas geodésicas están parametrizadas mediante la longitud de arco s. En ese caso, usando los símbolos de Christoffel asociadas a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto x0 y tiene el vector tangente v constante satisface la siguiente ecuación:

(1) \begin{cases} \cfrac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \cfrac{dx^\sigma}{ds}\cfrac{dx^\nu}{ds} = 0 \\ x(0) = x_0 \quad \cfrac{dx(0)}{ds} = \mathbf{v} \end{cases}

Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse también por métodos variacionales de mínima acción. De hecho las geodésicas son una solución particular de las Ecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano basado en la forma cuadrática asociada al tensor métrico que interviene en el cálculo de longitudes.

Ecuación en el caso general

Si consideramos una curva con parametrización totalmente general, mediante un parámetro t que no tenga por qué coincidir con el parámetro longitud de arco s, entonces la ecuación de la curva no cumplirá generalmente la ecuación (1). Sin embargo la curva recorrida seguirá siendo geodésica si y sólo si existe una función \phi(t)\; y se cumple la siguiente ecuación:

(2) \frac{d^2 \tilde{x}^\mu}{dt^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \frac{d\tilde{x}^\sigma}{dt}\frac{d\tilde{x}^\nu}{dt} = \left [ \frac{dx(\phi(t))}{ds}\frac{\ddot{\phi}(t)}{\dot{\phi}^2(t)} \right ]

Donde \phi(t) = s\; es una función cuya derivada no se anula nunca que relaciona el parámetro t con el parámetro s cumpliéndose x(\phi(t)):= \tilde{x}(t).

Ejemplos

  • En un espacio euclídeo dotado de la métrica usual, cualquier línea recta es una geodésica.
  • En una esfera cualquier círculo máximo, obtenido como intersección de la superficie esférica con un plano que pase por su centro, es también una geodésica. En particular, el ecuador y los meridianos de una esfera son líneas geodésicas. Usando coordenadas \scriptstyle{(r,\theta,\phi)}esféricas para una esfera de radio R, las ecuaciones de las geodésicas son simplemente:

(3) \ddot{\theta}-\sin(\theta)\cos(\theta)\dot{\phi}^2 = 0, \qquad \ddot{\phi}+2\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\dot{\theta}\dot{\phi} = 0

En particular un meridiano que atraviese los polos norte y sur responde a las ecuaciones paramétricas:

(4) \theta(s) = \frac{s}{R}, \qquad \phi(s) = \phi_0 = \mbox{cte.}

Que satisface las ecuaciones (3) trivialmente.

Véase también

Bibliografía

  • do Carmo, Manfredo Perdigao (1993). Birkhäuser. ed. Riemannian Geometry. ISBN 0-8176-3490-8. 
  • Shoshichi Kobayashi (1996). Wiley-Interscience. ed. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. ISBN 0-471-15733-3. 
  • O'Neill, Barret (1983). Academic Press,London. ed. Semi-Riemannian Geometry. ISBN 0-12-526740-1.  Para el caso semiriemanniano.

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