Función Xi de Riemann

Función Xi de Riemann
Función xi de Riemann ξ(s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de la función. Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.

Contenido

Definición

La función xi (minúscula) de Riemann es definida como:


\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s).

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para esta la función xi es

\xi(1-s)=\xi(s).\,

The función Xi (mayúscula) está definica como


\Xi(s) = \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)

y también obedece a la misma ecuación funcional.

Valores

La fórmula general para enteros pares es

\xi(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!} \over {(2n)!}}.

Por ejemplo:

\xi(2) = {\pi \over 6}.

Representación en forma de serie

La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:

\frac{d}{dz} \ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) = 
\sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n.

Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener λn > 0 para todo número positivo n.

Hipótesis de Riemann

Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann ies equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador

 -D^{2}+f(x) \,

con

 f^{-1}(x) = \sqrt (4\pi) \frac{d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}} así,


 \frac{\xi(1/2+iz)}{\xi(1/2)}= \frac{\det(H-z^{2})}{\det(H)} ,

cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Función zeta de Riemann — ζ(s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de ζ(s): Colores fuertes denotan valores cercanos a 0 y el tono codifica el valor del argumento. El punto blanco en s=1 es el polo de la función zeta; los puntos negros en el eje …   Wikipedia Español

  • Función zeta de Riemann — En matemáticas, la función zeta de Riemann zeta es una función de gran importancia en teoría de números, debido a su relación con la distribución de los números primos …   Enciclopedia Universal

  • Producto de Euler para la función zeta de Riemann — Saltar a navegación, búsqueda En 1737 Leonhard Euler probó un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números ( teoría analítica de números ) enunciando el siguiente teorema: Si s > 1, entonces …   Wikipedia Español

  • Función divisor — σ0(n) representada hasta n=250. Función divis …   Wikipedia Español

  • Función eta de Dirichlet — η(s) en el plano complejo. El color en un punto s codifica el valor de η(s). Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento. En las matemáticas, en el área …   Wikipedia Español

  • Función gamma — en el eje real. Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo …   Wikipedia Español

  • Función Z — En matemática, la función Z es una función usada para el estudio de la función zeta de Riemann a lo largo de la recta crítica, donde la parte real del argumento es 1/2. Es también llamada función Z de Riemann Siegel o función zeta de Hardy.[1]… …   Wikipedia Español

  • Función meromorfa — En análisis complejo, una función meromorfa sobre un subconjunto abierto D del plano complejo es una función que es holomorfa en todo D excepto en un conjunto de puntos aislados, llamados polos de la función. (La terminología viene del Griego… …   Wikipedia Español

  • Función theta — En matemática, las funciones theta o θ funciones son funciones especiales de varias variables complejas. Son importantes en diversas áreas, incluidas las teorías de variedades abelianas y espacios móduli, y de las formas cuadráticas. También se… …   Wikipedia Español

  • Función polilogarítmica — El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial definida por la siguiente serie: Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”