- Función Xi de Riemann
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En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.
Contenido
Definición
La función xi (minúscula) de Riemann es definida como:
La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para esta la función xi es
The función Xi (mayúscula) está definica como
y también obedece a la misma ecuación funcional.
Valores
La fórmula general para enteros pares es
Por ejemplo:
Representación en forma de serie
La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:
Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener λn > 0 para todo número positivo n.
Hipótesis de Riemann
Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann ies equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador
con
- así,
- ,
cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.
Referencias
- Weisstein, Eric W. «Xi-Function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
- «Power series expansions of Riemann's xi function». Mathematics of Computation 58 (198): pp. 765–773. 1992. doi: . Bibcode: 1992MaCom..58..765K.
- Riemann Ξ function en PlanetMath
Categoría:- Funciones Zeta y L
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