Función eta de Dedekind

Función eta de Dedekind
No debe confundirse con función zeta de Dedekind o función eta de Dirichlet.
Función eta de Dedekind representada en el plano complejo.

La función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático alemán Richard Dedekind es una función holomorfa definida en el semiplano superior complejo \mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,\tau>0\} Esta función juega un papel fundamental en la teoría de funciones elípticas y funciones theta.

Contenido

Definición

La función η suele definirse mediante el siguiente producto:

\eta(\tau):= e^{2\pi i\tau/24}\prod_{n=1}^\infty (1-e^{2\pi in\tau}):=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n).

donde q = e2πiτ. De la definición se deduce inmediatamente que η sobre \mathbb{H} no tiene ceros.

La función η está estrechamente relacionada con su discriminante Δ, de la siguiente manera

\Delta (\tau) \,=\, (2\pi)^{12} \eta^{24}(\tau).

Para el cálculo de la función, se suele emplear el teorema del número pentagonal de Euler.

Transformación y comportamiento

La propiedades que se atribuyen a la función η se originan de su comportamiento de transformación en las sustituciones de los generadores del grupo modular

\Gamma :=\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})=\{\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1\},

es decir:

\eta(\tau +1)\,=\, e^{\pi i/12}\eta(\tau)

y

\eta\left(\frac{-1}{\tau}\right) = \sqrt{\frac{\tau}{i}}\,\eta(\tau).

Referencias

  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
  • Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2

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