Funciones de Weierstrass

En el ámbito de las matemáticas, las funciones de Weierstrass son un conjunto de funciones especiales de variable compleja que son auxiliares a la función elíptica de Weierstrass. Han sido nombradas en honor al matemático Karl Weierstrass.

Contenido

1 Función sigma de Weierstrass
2 Función zeta de Weierstrass
3 Función eta de Weierstrass
4 Función p de Weierstrass

Función sigma de Weierstrass

La función sigma de Weierstrass asociada a una grilla bidimensional $\Lambda\subset\Complex$ se encuentra definida por el producto

$\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}$

donde:

$\Lambda^{*}\,$ denota el conjunto $\Lambda-\{ 0 \}\,$

Función zeta de Weierstrass

La función zeta de Weierstrass se encuentra definida por la suma

$\zeta(z;\Lambda)=\frac{\sigma'(z;\Lambda)}{\sigma(z;\Lambda)}=\frac{1}{z}+\sum_{w\in\Lambda^{*}}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{w}+\frac{z}{w^2}\right).$

Notar que la función zeta de Weierstrass es basicamente la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta puede ser re-escrita como:

$\zeta(z;\Lambda)=\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{G}_{2k+2}(\Lambda)z^{2k+1}$ donde $\mathcal{G}_{2k+2}$ es la serie de Eisenstein de peso $2 k + 2$ .

También es interesante notar que la derivada de la función zeta es $\scriptstyle -\wp(z)$ , donde $\scriptstyle \wp(z)$ es la función elíptica de Weierstrass.

No debe confundirse la función zeta de Weierstrass con la función zeta de Riemann de la teoría de números.

Función eta de Weierstrass

La función eta de Weierstrass está definida por la expresión

$\eta(w;\Lambda)=\zeta(z+w;\Lambda)-\zeta(z;\Lambda), \mbox{ para todo } z \in \Complex$

Se puede demostrar que está bien definida, o sea $ζ(z + w;Λ) - ζ(z;Λ)$ solo depende de w. No se debe confundir la función eta de Weierstrass con la función eta de Dedekind.

Función p de Weierstrass

La función p de Weierstrass está definida por la expresión

$\wp(z;\Lambda)= -\zeta'(z;\Lambda), \mbox{ para todo } z \in \Complex$

La función p de Weierstrass es una función par elíptica de órden N=2 con un único polo doble en cada grilla.

Categoría:

Funciones elípticas

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

Funciones elípticas de Weierstrass — Símbolo de la función P de Weierstrass P. En el ámbito de las matemáticas, las funciones elípticas de Weierstrass son un grupo de funciones elípticas que poseen una forma particularmente simple (cf funciones elípticas de Jacobi); han sido… … Wikipedia Español
Weierstrass, Karl (Theodor Wilhelm) — (31 oct. 1815, Ostenfelde, Baviera, Alemania–19 feb. 1897, Berlín). Matemático alemán. Enseñó principalmente en la Universidad de Berlín (desde 1856). Después de muchos años de trabajar aislado, un artículo en 1854 inició una cadena de… … Enciclopedia Universal
Teorema de factorización de Weierstrass — En matemática, concretamente en análisis complejo, el teorema de factorización de Weierstrass, llamado así en honor a Karl Weierstrass, asegura que las funciones enteras pueden ser representadas mediante un producto que envuelve sus ceros. Además … Wikipedia Español
Karl Weierstrass — Karl Weierstraß Karl Theodor Wilhelm Weierstraß Nacimiento 31 de octubre de 1815 Ostenfelde, Westphalia … Wikipedia Español
Función de Weierstrass — en el intervalo [−2, 2]. La función tiene un comportamiento fractal. La función de Weierstrass es muy particular. Su nombre, por supuesto es por su mentor, quien la publicó por primera vez, Karl Weierstrass. Está definida en la recta y toma… … Wikipedia Español
Teorema de aproximación de Weierstrass — En análisis matemático, el teorema de aproximación de Weierstrass es un resultado que afirma que las funciones reales continuas definidas en un intervalo cerrado y acotado pueden ser aproximadas tanto como se quiera por un polinomio. Es decir,… … Wikipedia Español
Teorema de Weierstrass — El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en… … Wikipedia Español
Teorema de Weierstrass-Casorati — En análisis complejo, una rama de las matemáticas el teorema de Casorati–Weierstrass describe el comportamiento de funciones meromorfas cerca de una singularidad esencial. Recibe su nombre de Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y Felice Casorati.… … Wikipedia Español
Teorema de Weierstrass — Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema: Hipótesis: La función f es continua en un intervalo cerrado entonces Tesis: Hay al menos un punto c perteneciente a [a,b] donde… … Enciclopedia Universal
Función elíptica — En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Funciones de Weierstrass

Contenido

Función sigma de Weierstrass

Función zeta de Weierstrass

Función eta de Weierstrass

Función p de Weierstrass

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Funciones de Weierstrass

Contenido

Función sigma de Weierstrass

Función zeta de Weierstrass

Función eta de Weierstrass

Función p de Weierstrass

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo