Teorema del número pentagonal

En matemáticas, el teorema del número pentagonal, originalmente formulado por Leonhard Euler, da una equivalencia entre la representación en forma producto y de serie de la función de Euler. Se formula como:

$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}$

Leonhard Euler (1775)

O escrito como:

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots$

Una de las características principales, y a la vez interesante, es la cancelación de algunos términos al desarrollar el producto. Los coeficientes 1, 2, 5, 7, 12... que aparecen en los exponentes en la parte derecha de la identidad corresponden a los números pentagonales (más exactamente, a los números pentagonales generalizados).

Si nosotros tratamos la serie resultante como una serie de potencias, ésta tiene un radio de convergencia igual a 1. Ignorando el radio de convergencia, y basándonos en su serie de potencias formal, el teorema sigue cumpliéndose, ya que éste sólo hace una equivalencia entre una representación en forma de suma y de producto.

A continuación se muestran un par de pruebas en términos modernos, aunque si uno lo desea, puede consultar la prueba original de Euler aquí.^[1]

Prueba por combinatoria

El teorema puede ser demostrado dando una interpretación combinatorial en términos de particiones. En particular, el miembro de la izquierda es una función generadora para el número de particiones de n en un número par de distintas partes menos el número de particiones de n en un número impar de distintas partes.

Por ejemplo, el coeficiente de x⁵ es 1 porque solamente hay dos maneras de descomponer 5 en un número par de distintas partes (4+1 y 3+2), pero solamente hay una única manera de descomponer 5 en un número impar de partes (el 5 en sí).

De esta interpretación se sigue una elegante prueba por el método de involución. Consideremos el gráfico Ferrers de cualquier partición de n en distintas partes. Para que se vea gráficamente, el diagrama que se muestra a continuación es para n = 20 y la partición 20 = 7 + 6 + 4 + 3.

Sea k el número de elementos de la menor fila de nuestro gráfico. Sea s el número de elementos situados más a la derecha que forman diagonal (en los gráficos están indicados en rojo). Así pues, en el gráfico de arriba, k = 3,s = 2.

Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonal más a la derecha y ubicarnos como una nueva fila. Siguiendo con el ejemplo de arriba, esto nos quedaría de la siguiente manera:

Si este no es el caso (como en nuestro recién formado gráfico donde k = 2 y s = 5), nosotros podemos revertir el proceso moviendo la fila inferior a una nueva diagonal ( en efecto, añadiendo 1 elemento de la fila inferior la las primeras k filas). En nuestro caso, esta acción nos devolverá al primer gráfico.

Un poco de reflexión muestra que, de hecho, la aplicación de este proceso dos veces nos lleva al gráfico original y el proceso siempre cambia la paridad del número de filas. Por lo tanto este proceso (cuando se puede realizar) nos permite aparear los gráficos de Ferrer obteniendo 1 o -1 en la suma original. Así, todo se anula, salvo en los casos en los que esta operación no puede realizarse. De hecho, hay dos de ellos:

1) k = s y la diagonal más a la derecha y la fila de abajo se encuentran, por ejemplo:

Al realizar la operación, el resultado sería

el cual falla al cambiar la paridad del número de filas, y no es reversible en el sentido de que al realizar la operación otra vez, nosotros no podemos volver de nuevo al gráfico original. Si hay k elementos en la última fila del gráfico original, entonces:

$n=k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(2k-1)=\frac {k(3k-1)}{2}$

2) k = s + 1 y la diagonal más a la derecha y la fila de abajo se encuentran, por ejemplo:

La operación requiere mover la diagonal más a la derecha a la fila de abajo, pero entonces tendríamos 2 filas de 3 elementos, lo cual contradice el que estemos contando particiones en números distintos de partes. Éste es el caso previo, pero con una fila menos así pues

$n=k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(2k-2)=\frac{(k-1)(3k-2)}{2} =\frac{m(3m-1)}{2}$

donde m = 1-k (obsérvese que m es negativo).

Resumiendo, se ha mostrado que las particiones de un número par en distintas partes y de un número impar en distintas partes exactamente se cancelan mutuamente, excepto para los números pentagonales generados por números enteros (negativos incluidos), por tanto, desarrollando el producto y aplicando los métodos expuestos a cada xⁿ, se obtiene

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots$

de lo que se sigue la identidad inicial.

Prueba por biyección

Otra manera de probar la identidad es observar las implicaciones de ciertos conjuntos de particiones. Para empezar, nosotros sabemos que el producto

$\prod_{n\in\mathbb{N}} (1 - x^n)$

es inverso (en términos de serie de potencias formal) que la más conocida función generadora de la función partición p(n)

$\prod\limits_{k\in\mathbb{N}} (1 - x^k)^{-1} = \sum\limits_{n\in \mathbb{N}_0} p(n) x^n$

Claramente, uno puede observar que

$\left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) = 1$

donde a_n es el coeficiente de xⁿ en la expansión del producto que pretendemos desarrollar. Nosotros también vemos que

$a_0 \cdot p(0)=a_0=1\,\!$

y también que

$\sum_{i=0}^n p(n-i) a_i = 0 \quad \forall \; n \ge 1.$

Se puede ver que esto resulta ser una relación recursiva, de la cual cada elemento a_i se define de forma única. Si tenemos que encontrar un

$a_i := \begin{cases}1 & \mbox{ if } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \mbox{ y } k \mbox{ es par}\\ -1 & \mbox{ if } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \mbox{ y } k \mbox{ es impar}\\ 0 & \mbox{ en cualquier otro caso }\end{cases}$

para i ≥ 1 (que es lo que buscamos), es necesario substituir esta fórmula en nuestra relación recursiva para a_i,

$\sum_i (-1)^i p(n-b_i)\,\!$

donde n > 0 y $b_i := \frac{1}{2}(3i^2+i)$ para todos los valores de i tales que b_i ≤ n (tanto negativos como positivos) de lo que se obtiene que

$\sum_{i \mbox{ par}} p(n-b_i) = \sum_{i \mbox{ impar}} p(n-b_i) \,\!$

lo que traducido en términos de conjuntos de particiones como por el hecho de que

$\mathcal{X} := \bigcup_{i \mbox{ par}} \mathcal{P}(n-b_i) \mbox{ y } \mathcal{Y} := \bigcup_{i \mbox{ impar}} \mathcal{P}(n-b_i)$

tienen la misma cardinalidad (usando las mismas restricciones que antes para i y n). Lo único que falta es encontrar una biyección de un conjunto al otro y es fácil comprobar que la función $\varphi :\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ con los mapas de partición $\mathcal{P}(n-b_i) \ni \lambda : n-b_i = \lambda_1 + \lambda_2 + \dotsb + \lambda_\ell$ a la partición $λ' = φ(λ)$ donde

$\varphi(\lambda) := \begin{cases} \lambda' : n - b_{i-1} = (\ell + 3i -1) + (\lambda_1 - 1) + \dotsb + (\lambda_\ell - 1) &\mbox{ if } \ell+3i \geq \lambda_1\\ \\ \lambda' : n - b_{i+1} = (\lambda_2 + 1) + \dotsb + (\lambda_\ell + 1) + \underbrace{1+\dotsb+1}_{\lambda_1 - \ell - 3i - 1} &\mbox{ if } \ell+3i < \lambda_1 \end{cases}$

es en realidad una involución (y por tanto también una biyección), como lo que queda demostrada la identidad.

( Aquí, las particiones se muestran como $\lambda : n = \lambda_1 + \lambda_2 + \dotsb + \lambda_\ell$ con $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dotsb \geq \lambda_\ell$ y $\mathcal{P}(n)$ denota el conjunto de todas las particiones de n )

Generalizaciones

El teorema del número pentagonal es un caso particular del producto triple de Jacobi.

Las Q-Series generalizan la función de Euler, que está íntimamente relacionada con la función eta de Dedekind, que sucede en el estudio de formas modulares. El módulo de la función de Euler muestra la simetría del grupo modular fractal en el interior del conjunto de Mandelbrot.

Referencias

↑ [E541] Euler, Leonhard, Evolutio producti infiniti (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)etc in seriem simplicem, Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1780, 1783, pp. 47-55, reprinted in Opera omnia: Series 1, Volume 3, pp. 472 - 479

Enlaces externos

Euler, Leonhard, Evolutio producti infiniti (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)etc in seriem simplicem (traducido al inglés)
http://www.eulerarchive.org
Euler and the pentagonal number theorem
On Euler's Pentagonal Theorem en MathPages
Euler's Pentagonal Theorem en MathWorld

Categoría:

Teoremas de teoría de números

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

Número pentagonal — Representación visual de los primeros números pentagonales. Un número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de número triangular y cuadrado al pentágono, pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones utilizados en la… … Wikipedia Español
Número áureo — Para el número de astronomía, ver Número áureo (astronomía) El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la… … Wikipedia Español
Símbolo q-Pochhammer — En matemáticas, en el área de combinatoria, el símbolo q Pochhmammer es el q análogo del más conocido símbolo de Pochhammer. Se define de la siguiente manera: El símbolo q Pochhmammer es el más importante ladrillo en la construcción de los q… … Wikipedia Español
Función de Euler — En matemática, la función de Euler está dada por Llamada así en honor a Leonhard Euler, es el ejemplo prototipo de q series, una forma modular, y es uno de los primeros ejemplos de relación entre combinatoria y análisis complejo. Propiedades Los… … Wikipedia Español
Función eta de Dedekind — No debe confundirse con función zeta de Dedekind o función eta de Dirichlet. Función eta de Dedekind representada en el plano complejo. La función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático… … Wikipedia Español
Politopo regular — Saltar a navegación, búsqueda Un dodecaedro, uno de los cinco sólidos platónicos. En Matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría. Ejemplo de politopos regulares en dos dim … Wikipedia Español
Poliedro — Saltar a navegación, búsqueda Poliedros Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales,… … Wikipedia Español
Pitágoras — Saltar a navegación, búsqueda Pitágoras (Πυθαγόρας) Busto de Pitágoras de Samos en los Museos Capitolinos, Roma … Wikipedia Español
Pirámide (geometría) — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Pirámide. Pirámide cuadrangular … Wikipedia Español
Grupo puntual — La flor Bauhinia blakeana representada en la bandera de Hong Kong tiene simetría C5; la estrella interior de cada pétalo tiene simetría D5. En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría)… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Teorema del número pentagonal

Contenido

Prueba por combinatoria

Prueba por biyección

Generalizaciones

Referencias

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Teorema del número pentagonal

Contenido

Prueba por combinatoria

Prueba por biyección

Generalizaciones

Referencias

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo