- Función zeta de Dedekind
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En matemática, la función zeta de Dedekind es una serie de Dirichlet definida para todo cuerpo K de números algebraicos, expresada como ζK(s) donde s es una variable compleja. Es la suma infinita:
realizada sobre todos los I ideales del anillo de los enteros OK de K, con
. Donde NI es la norma de I (al campo racional Q): es igual a la cardinalidad de OK/I, en otras palabras, el número de clases de residuo módulo I. En el caso en que K=Q esta definición se reduce a la función zeta de Riemann.
Propiedades
Las propiedades de ζK(s) como una función meromórfica resultan de un considerable significado en la teoría de números algebraicos. Tiene un producto de Euler, con un factor para un dado número primo p el producto sobre todos los primos ideales P de OK dividiendo p de
Esta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de los ideales I.
Se sabe (demostrado en forma general primero por Erich Hecke) que ζK(s) tiene una continuación analítica hacia todo el plano complejo como una función meromorfa, teniendo un polo simple solo en s = 1. El residuo en ese polo es una cantidad importante, que involucra a invariantes del grupo unitario y del grupo de clase de K; los detalles se encuentran en la fórmula de número de clase. Existe una ecuación funcional para la función zeta de Dedekind, que relaciona sus valores en s y 1−s.
Para el caso en que K es una extensión abeliana de Q, su función zeta de Dedekind puede ser escrita como un producto de funciones L de Dirichlet. Por ejemplo, cuando K es un cuerpo cuadrático esto muestra que la relación
es una función L, L(s,χ); donde χ es un símbolo de Jacobi como carácter de Dirichlet. Que la función zeta de un cuerpo cuadrático sea un producto de la función zeta de Riemann y una cierta función L de Dirichlet es una formulación analítica de la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática.
En general si K es una extensión de Galois de Q con grupo de Galois G, su función zeta de Dedekind tiene una factorización comparable en términos de funciones L de Artin. Estas están asociadas a representaciones lineales de G.
Véase también
- Función L
- Hipótesis extendida de Riemann
Enlaces externos
Categoría:- Funciones Zeta y L
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