Función de Euler

Función de Euler: En matemática, la función de Euler está dada por

$\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k).$

Llamada así en honor a Leonhard Euler, es el ejemplo prototipo de q-series, una forma modular, y es uno de los primeros ejemplos de relación entre combinatoria y análisis complejo.

Propiedades

Los coeficientes p(k) en la serie de Maclaurin para 1/Φ(q) da el número de todas las particiones de k. Esto es,

$\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k$

donde p(k) es la función de partición de k.

El teorema del número pentagonal, descubierto también por Leonhard Euler, está relacionado con la función de Euler de la siguiente manera:

$\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.$

Nótese que (3n²-n)/2 es un número pentagonal.

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind, mediante la identidad descubierta por Ramanujan:

$\phi(q)= q^{-1/24} \eta(\tau) \,\!$

donde $q=e^{2\pi i\tau} \,$ .

Nótese que ambas funciones tienen la simetría del grupo modular.

Referencias

Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9.

Categoría:
Teoría analítica de números

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