- Función zeta prima
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En matemática, la función zeta prima es un análogo de la función zeta de Riemann, estudiada por Glaisher (1891). Está definida por la siguiente serie infinita, la cual converge para todo
1" border="0">:
.
El producto de Euler para la función zeta de Riemann ζ(s) implica que
0} \frac{P(ns)}{n}" border="0">
el cual, mediante la fórmula de inversión de Möbius se obtiene que
0} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)}{n}" border="0">
Cuando s tiende a 1, se tiene que
. Esto es usado en la definición de la densidad de Dirichlet.
Esto da la continuación analítica de P(s), para
0" border="0">, con un infinito número de singularidades logarítmicas en los puntos donde ns es un polo o un cero de ζ(s). La línea
es una frontera natural, como lo es el grupo de singularidades, cerca de todos los puntos de esta línea.
Referencias
- «The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers». Proc. Roy. Soc. London 33: pp. 4–10. 1881. doi: . JSTOR 113877
- «On the prime zeta function». Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3): pp. 187–202. 1968. doi: . MR0236123.
- Glaisher, J. W. L. (1891). «On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers». Quart. J. Math. 25: pp. 347–362.
- Richard J. Mathar (2008). «Twenty digits of some integrals of the prime zeta function». arXiv:0811.4739.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Prime Zeta Function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
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