Producto de Euler

Producto de Euler

Producto de Euler

Leonhard Euler.

En matemática, un producto de Euler es la expansión de un producto infinito, indexado por números primos p de una serie de Dirichlet. El nombre surge del caso especial de la función zeta de Riemann, cuya representación en forma de producto, fue probada por Leonhard Euler en 1737.

Contenido

Definición

En general, una serie de Dirichlet de la forma

\sum_{n} a(n)n^{-s}\,

donde a(n) es una función multiplicativa de n, puede ser escrita de la forma

\prod_{p} P(p,s)\,

donde P(p,s) es la suma

1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .

En efecto, si consideramos éstas como funciones generadoras de manera formal, la condición necesaria y suficiente para la existencia del producto de Euler equivalente a la serie es que a(n) sea multiplicativa, o sea, que a(n) sea igual al producto de a(pk) para los distintos factores primos p que componen n.

Un caso importante es cuando a(n) es una función totalmente multiplicativa, donde se cumple que P(p,s) es una serie geométrica. Entonces

P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}}

como puede ser el caso de la función zeta de Riemann, donde a(n) = 1, y más generalmente, para los caracteres de Dirichlet.

En la práctica, todos los casos importantes a tener en cuenta son las series y productos infinitos que son absolutamente convergentes en cierta región

\operatorname{Re}(s) > C

o sea, en la parte derecha del semiplano formado por números complejos. Esto da también alguna información, dado que el producto infinito, al converger, debe dar una valor distinto de cero, y también que la función dada por la serie infinita no es cero en dicho semiplano.

Ejemplos de productos de Euler

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} = \prod_{p} \Big(\sum_{n=0}^{\infty}p^{-ns}\Big) = \prod_{p} (1-p^{-s})^{-1} .
\frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1-p^{-s})= \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s} .
  • Productos más específicos derivados de la función zeta son:
\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1+p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^{\infty}\lambda (n)n^{-s}
donde λ(n) = ( − 1)Ω(n) es la función de Liouville, y
\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) }= \prod_{p} (1+p^{-s}) = \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)|n^{-s} .
  • De manera similar
\frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)} = \prod_{p} \Big(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\Big) = \prod_{p} (1+2p^{-s}+2p^{-2s}+\cdots) = \sum_{n=1}^{\infty}2^{\omega(n)} n^{-s}

donde ω(n) cuenta el número de divisores primos distintos de n y 2ω(n) el número de divisores de la forma cuadrado libre.

Si χ(n) es el carácter de Dirichlet del conductor N, tal que si χ es totalmente multiplicativa y χ(n) sólo depende de n modulo N, y χ(n) = 0 si n no es coprimo con N, entonces:

\prod_{p} (1- \chi(p) p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)n^{-s} .

Aquí es conveniente omitir los número primos p que dividen al conductor N del producto.

Ramanujan, es sus cuadernos, trató de generalizar el producto de Euler para la función zeta en la forma:

\prod_{p} (x-p^{-s})\approx \frac{1}{Li_{s} (x)} s > 1

(donde Li_s (x) es la función polilogaritmo)

buscando la forma de obtener potencias primas como raíces de cierta función f(x, s).

Véase también

Referencias

  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244.
  • G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 (1954) Princeton University Press L.C. Card 53-6388
  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9
  • G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0

Enlaces externos

  • http://www.EulerArchive.org (en inglés)
  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [1]
  • Ramanujan lost notebook [2]
  • planetmath.org (2008). «Euler product.». Consultado el 15 de julio de 2008.
  • Wolffram.Mathworld.com (2008). «Euler product.». Consultado el 15 de julio de 2008.
Obtenido de "Producto de Euler"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Producto de Euler para la función zeta de Riemann — Saltar a navegación, búsqueda En 1737 Leonhard Euler probó un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números ( teoría analítica de números ) enunciando el siguiente teorema: Si s > 1, entonces …   Wikipedia Español

  • Producto de Wallis — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, se conoce como Producto de Wallis una expresión utilizada para representar el valor de π que fue descubierta por John Wallis en 1655 y que establece que: Demostración Antes que nada se debe considerar …   Wikipedia Español

  • Leonhard Euler — Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Bruck …   Wikipedia Español

  • Función φ de Euler — Los primeros mil valores de . La función φ de Euler (también llamada función indicatriz de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos… …   Wikipedia Español

  • Constante de Euler-Mascheroni — La constante de Euler Mascheroni, (también conocida como constante de Euler ) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números, y se denota con la letra griega minúscula γ (Gamma). Se define como el límite de la… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Euler — Para el teorema referido a las relaciones numéricas en un poliedro, véase Teorema de poliedros de Euler. Para el teorema referido a las funciones homogéneas, véase Teorema de Euler sobre funciones homogéneas …   Wikipedia Español

  • Método de factorización de Euler — El método de factorización de Euler es un método de factorización basado en la representación de un entero positivo N como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas: N = a2 + b2 = c2 + d2 Aunque la factorización algebraica de números… …   Wikipedia Español

  • Característica de Euler — Saltar a navegación, búsqueda En topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler Poincaré es un invariante topológico (de hecho, invariante homotópico) definido para una amplia clase de espacios topológicos. Es denotada …   Wikipedia Español

  • Fórmula de Euler-Maclaurin — En matemáticas, la fórmula de Euler Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infnitas) resolviendo integrales. La… …   Wikipedia Español

  • Teorema de rotación de Euler — En geometría el Teorema de la rotación de Euler dice que, en un espacio tridimensional, cualquier movimiento de un sólido rígido que mantenga un punto constante, también debe dejar constante un eje completo. Esto también quiere decir que… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”