Cuadratura de Gauss

Cuadratura de Gauss

En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada así debido a Carl Friedrich Gauss, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:

\int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 W(x) g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i g(x_i).


Contenido

Formula para calcular wi

w_i = \frac{2}{\left( 1-x_i^2 \right) [P'_n(x_i)]^2} \,\!

Lista de coeficientes de wi y puntos xi para n=1,....,5

Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi
1 x1=0 w1 =2
2 x_1=-1/\sqrt{3} x_2=1/\sqrt{3} w1 =1 w2 =1
3 x1=-0.7745966 x2=0 x3=0.7745966 w1 =0.55555 w2 =0.88888 w3 =0.55555
4 x1=-0.861136311 x2=-0.33998104 x3=0.33998104 x4=0.861136311 w1 =0.3478548451 w2 =0.6521451549 w3 =0.6521451549 w4 =0.3478548451
5 x1=-0.90617984 x2=-0.53846931 x3=0 x4=0.53846931 x5=0.90617984 w1 =0.23692688509 w2 =0.4786286705 w3 =0.56888888w4 =0.4786286705 w5 =0.23692688509

Cambio de intervalos

Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de aplicar la cuadratura de Gauss:

\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx

Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)

Ejemplo

Aproxime la integral f(x) = x3 + 2x2 de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.

\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx
\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx=238. 66667

n = 2

2n − 1 = 2(2) − 1 = 3

Con n = 2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

\frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx= \frac{5-1}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{5-1}{2}x + \frac{5+1}{2}\right)\,dx= 2\int_{-1}^1 f\left(2x+3\right)\,dx
\approx 2 \sum_{i=1}^2 w_i f(2x_i + 3)=2(w_1 f(2x_1 +3)+w_2 f(2x_2 +3))=238. 66667

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Integración numérica — En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver… …   Wikipedia Español

  • Fórmulas de Newton-Cotes — Saltar a navegación, búsqueda En análisis numérico las fórmulas de Newton Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos… …   Wikipedia Español

  • Fórmulas de Newton–Cotes — En análisis numérico las fórmulas de Newton Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar… …   Wikipedia Español

  • Historia de la geometría — La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto,… …   Wikipedia Español

  • Regla y compás — Construcción de un hexágono regular con regla y compás …   Wikipedia Español

  • Número π — π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El… …   Wikipedia Español

  • Integración — La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Para otros usos de este término, véase Integración …   Wikipedia Español

  • Análisis numérico — El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. El… …   Wikipedia Español

  • Aritmética — Este artículo trata sobre la aritmética elemental. Para otros usos de este término, véase teoría de números. Alegoría de la Aritmética. Pintura de Laurent de La Hyre. La aritmética (del lat. arithmetĭcus, y este del gr. ἀριθμητικός …   Wikipedia Español

  • Squaring the circle — Squaring the circle: the areas of this square and this circle are equal. In 1882, it was proven that this figure cannot be constructed in a finite number of steps with an idealized compass and straightedge …   Wikipedia

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”