Cuadratura de Gauss

Cuadratura de Gauss

En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada así debido a Carl Friedrich Gauss, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:

\int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 W(x) g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i g(x_i).


Contenido

Formula para calcular wi

w_i = \frac{2}{\left( 1-x_i^2 \right) [P'_n(x_i)]^2} \,\!

Lista de coeficientes de wi y puntos xi para n=1,....,5

Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi
1 x1=0 w1 =2
2 x_1=-1/\sqrt{3} x_2=1/\sqrt{3} w1 =1 w2 =1
3 x1=-0.7745966 x2=0 x3=0.7745966 w1 =0.55555 w2 =0.88888 w3 =0.55555
4 x1=-0.861136311 x2=-0.33998104 x3=0.33998104 x4=0.861136311 w1 =0.3478548451 w2 =0.6521451549 w3 =0.6521451549 w4 =0.3478548451
5 x1=-0.90617984 x2=-0.53846931 x3=0 x4=0.53846931 x5=0.90617984 w1 =0.23692688509 w2 =0.4786286705 w3 =0.56888888w4 =0.4786286705 w5 =0.23692688509

Cambio de intervalos

Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de aplicar la cuadratura de Gauss:

\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx

Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)

Ejemplo

Aproxime la integral f(x) = x3 + 2x2 de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.

\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx
\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx=238. 66667

n = 2

2n − 1 = 2(2) − 1 = 3

Con n = 2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

\frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx= \frac{5-1}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{5-1}{2}x + \frac{5+1}{2}\right)\,dx= 2\int_{-1}^1 f\left(2x+3\right)\,dx
\approx 2 \sum_{i=1}^2 w_i f(2x_i + 3)=2(w_1 f(2x_1 +3)+w_2 f(2x_2 +3))=238. 66667

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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