Regla del trapecio

Regla del trapecio
La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

y donde el término error corresponde a:

-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].

Contenido

Regla del trapecio compuesta

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida \int_a^b f(x)\, dx representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.

Después de realizar todo el poceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

\int_a^b f(x)\, dx \sim \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]

Donde \textstyle h= \frac{b-a}{n} y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

\int_a^b f(x) dx \sim \frac{b-a}{n} \left( \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \right)

Ejemplo

\int_1^2 3x\, dx

Primero se obtiene h, de los limites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: h= \frac{b-a}{n} =\frac{2-1}{6} = 0.16667.

Y ahora se sustituye en la formula

\int_a^b f(x)\, dx = \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]

y queda:

\int_1^2 3x\, dx = \frac{0.16667}{2} [3(1)+2[3(1+0.16667)]+2[3(1+2\cdot 0.16667)]+2[3(1+3\cdot 0.16667)]+2[3(1+4\cdot 0.16667)]+2[3(1+5 \cdot 0.16667)]+3(2)] = 4.5


En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

Véase también

Referencias

  • Hostetler Edwards, Larson: Calculo I (Octava edición)

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Método del trapecio compuesto — Saltar a navegación, búsqueda En análisis numérico el método del trapecio compuesto es un método el cual sirve para aproximar los valores de las distintas integrales, pero solo aproximaciones. Este método consiste en dividir el intervalo [a, b]… …   Wikipedia Español

  • Regla de Simpson — La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo). En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que …   Wikipedia Español

  • América del Sur — Superficie 17 819 100 km² …   Wikipedia Español

  • Fórmulas de Newton–Cotes — En análisis numérico las fórmulas de Newton Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar… …   Wikipedia Español

  • Fórmulas de Newton-Cotes — Saltar a navegación, búsqueda En análisis numérico las fórmulas de Newton Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos… …   Wikipedia Español

  • Integración numérica — En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver… …   Wikipedia Español

  • Método de Romberg — En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente: usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de… …   Wikipedia Español

  • Computación Científica — La Computación Científica (o Ciencia Computacional) es el campo de estudio relacionado con la construcción de modelos matemáticos y técnicas numéricas para resolver problemas científicos, de ciencias sociales y problemas de ingeniería.… …   Wikipedia Español

  • Fórmula de Euler-Maclaurin — En matemáticas, la fórmula de Euler Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infnitas) resolviendo integrales. La… …   Wikipedia Español

  • Cúmulo abierto — Saltar a navegación, búsqueda Cúmulo estelar abierto M11. Puede observarse su estructura poco dens …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”