Límite superior y límite inferior

Límite superior y límite inferior
Una ilustración representando el límite superior y el límite inferior. La sucesión xn está denotada en una línea a puntos azul. Las dos curvas rojas se aproximan al límite superior y límite inferior de xn, cuyo caso se muestran como líneas a trazos rojas, continuas a la derecha. El límite superior es el más grande de los dos, y el límite inferior el más pequeño de los dos. Los límites superior e inferior sólo coinciden cuando la secuencia es convergente (p.e., cuando el límite es común).

En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (xn) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (xn). Análogamente a éste, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que éste no existe.

Definición formal

Formalmente el límite inferior de una sucesión (xn) se define como

\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\geq 0\}

o también como

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}x_k\right)

y se denota como \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n o como \varliminf_{n\rightarrow\infty}x_n. Análogamente se define \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}x_k\right).

Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.

Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión (xn), se cumple que \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\;.

Bibliografía

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • límite — (Del lat. limes, ĭtis). 1. m. Línea real o imaginaria que separa dos terrenos, dos países, dos territorios. 2. Fin, término. U. en aposición en casos como dimensiones límite, situación límite. 3. Extremo a que llega un determinado tiempo. El… …   Diccionario de la lengua española

  • Límite (sucesión de conjuntos) — En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos (An)n al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos An componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de… …   Wikipedia Español

  • Límite matemático — En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este… …   Wikipedia Español

  • Límite — (Del lat. limes, itis.) ► sustantivo masculino 1 Línea o punto, real o no, que marca la separación entre dos cosas, en especial entre territorios: ■ el límite norte del país son los Pirineos. SINÓNIMO confín frontera linde 2 Grado máximo, punto o …   Enciclopedia Universal

  • inferior — (Del lat. inferior.) ► adjetivo 1 Que está más abajo respecto a otros seres o cosas dentro de una serie o respecto al punto desde donde se considera: ■ lo vi bajar a la planta inferior. ANTÓNIMO superior 2 Que es menor en cantidad, calidad o… …   Enciclopedia Universal

  • Límite de una función — El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser… …   Wikipedia Español

  • Límite de Roche — Un cuerpo fluido, que mantiene su estructura por su gravedad interna y que orbita alrededor de un objeto mayor, tiene una forma esférica cuando se encuentra lejos del límite de Roche. Más cerca del límite de Roche el fluido es deformado por la… …   Wikipedia Español

  • Superior — (Del lat. superior .) ► adjetivo 1 Que está situado en la parte más alta de una cosa: ■ la parte superior de la bóveda está rematada por una cruz. ANTÓNIMO inferior 2 Que es mayor, mejor o tiene alguna cualidad que lo hace sobresalir del resto de …   Enciclopedia Universal

  • superior — (Del lat. superior .) ► adjetivo 1 Que está situado en la parte más alta de una cosa: ■ la parte superior de la bóveda está rematada por una cruz. ANTÓNIMO inferior 2 Que es mayor, mejor o tiene alguna cualidad que lo hace sobresalir del resto de …   Enciclopedia Universal

  • Germania inferior — Germanie inférieure La Germanie inférieure dans l Empire romain, vers 120 …   Wikipédia en Français

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”