Norma matricial

Norma matricial

En matemáticas, una norma matricial es una extensión de la noción natural de norma vectorial a las matrices.

Contenido

Definición

En adelante, R denotará el campo de los Números reales o complejos. Y R^{m \times n} denotará el espacio vectorial que contienen todas las matrices con m filas y n columnas con entradas en R.

Una norma matricial es una norma vectorial en R^{m \times n}. O sea, si \|A\| denota la norma la matriz A, entonces,

  • \|A\|> 0 si A\ne0 y \|A\|= 0 si y solo si A = 0
  • \|\alpha A\|=|\alpha| \|A\| para todo α en R y todas las matrices A en R^{m \times n}
  • \|A+B\| \le \|A\|+\|B\| para todas las matrices A y B en R^{m \times n}.

Adicionalmente, en el caso de matrices cuadradas (o sea, m = n), algunas (pero no todas) normas matriciales satisfacen la siguiente condición, la cual se relación con el hecho de que las matrices son más que simples vectores:

  • \|AB\| \le \|A\|\|B\| para todas las matrices A y B en R^{n \times n}.

Una norma matricial que satisface esta propiedad adicional es llamada norma sub-multiplicativa (en algunos libros, la terminología norma matricial se usa sólo para norma que son sub-multiplicativas). El conjunto de todas las matrices n-por-n, siendo normas sub-multiplicativas, es un ejemplo de un Álgebra de Banach.

Norma inducida

Si se tienen norma vectoriales en Rm y Rn se pueden definir la norma inducida correspondiente o el operador norma en el espacio de matrices m-por-n de la siguiente manera:

 \begin{align}
\|A\| &= \max\{\|Ax\| : x\in R^n \mbox{ con }\|x\|\le 1\} \\
&= \max\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} : x\in R^n \mbox{ con }x\ne 0\right\}.
\end{align}

Hay diferentes normas que se denotan p-normas y usualmente se denotan por  \left \| A \right \| _p .

Si m = n y uno usa la misma norma en el dominio y el rango, entonces el operador norma inducido es una norma matricial sub-multiplicativa.

El operador norma correspondiente a la norma p para vectores es:

 \left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}.

En el caso de p = 1 y p=\infty, las normas se pueden calcular como:

 \left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^m | a_{ij} |, que es simplemente la máxima suma absoluta de las columnas de la matriz.
 \left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} |, que es simplemente la máxima suma absoluta de las filas de la matriz.

Por ejemplo, si la matriz A se define como

 
      A = \begin{bmatrix}
           3 & 5 & 7 \\
           2 & -6 & 4 \\
           0 & 2 & 8 \\
        \end{bmatrix},

se tiene ||A||1 = Max (5, 13, 19) = 19. y ||A|| = Max (15, 12, 10) = 15

En el caso especial de p = 2 (la norma Euclidea) y m = n (matrices cuadradas), la norma inducida es la norma espectral. La norma espectral de una matriz A es el valor singular más grande de A o la raíz cuadrada del valor propio más grande de la matriz semidefinida-positiva A*A:

\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^* A)}=\sigma_{\text{max}}(A)

donde A* denota la transpuesta conjugada de A.

En el caso más general, uno puede definir una norma matricial subordinada en R^{m\times n} inducida por \|\cdot\|_{\alpha} en Rn, y \|\cdot\|_{\beta} en Rm como:

 \left \| A \right \| _{\alpha,\beta} = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \|_{\beta}}{\left \| x\right \|_{\alpha}}.

Las normas subordinadas son consistentes con las normas que las inducen, dando


\|Ax\|_{\beta}\leq \|A\|_{\alpha,\beta}\|x\|_{\alpha}.

Cualquier norma inducida satisface la desigualdad

\left \| A \right \| \ge \rho(A),

donde ρ(A) es el radio espectral de A. De hecho, se ρ(A) es el ínfimo de todas las normas inducidas de A.

Además, para matrices cuadradas se tiene la fórmula del radio espectral:

\lim_{r\rarr\infty}\|A^r\|^{1/r}=\rho(A).

"Entrywise" norms

Estas normas tratan un vector de  m \times n veces la matriz como un vector de tamaño mn, y el usando una de las normas de vectores conocida.

Por ejemplo, utilizando la p-norma de vectores, obtenemos

\Vert A \Vert_{p} = \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p \right)^{1/p}. \,

Norma de Frobenius

Para p = 2, esto se llama la norma de Frobenius o norma de Hilbert-Schmidt, Aunque este último término es a menudo reservado para los operadores de Espacio de Hilbert. Esta norma se puede definir de varias maneras:

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{trace}(A^{{}^*} A)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,\,n\}} \sigma_{i}^2}

donde "A"* denota la transpuesta conjugada de "A", "σi" son los valores singulares de "A". y la traza es usada. La norma Frobenius es muy similar a la norma Euclidiana en "Rn" y viene de un producto interno en el espacio de todas las matrices.

La norma de Frobenius es submultiplicativa y es muy útil para álgebra lineal numérica. Esta norma es a menudo más fácil de calcular que las normas inducidas.

References

  1. Plantilla:Wikicite
  2. Plantilla:Wikicite
  3. Douglas W. Harder, Matrix Norms and Condition Numbers [1]
  4. James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, published by SIAM, 1997.
  5. Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, published by SIAM, 2000. [2]
  6. John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.4 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2008.

[[eo:Matrica normo]


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Determinante (matemática) — En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo …   Wikipedia Español

  • Teorema de la función inversa — En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho …   Wikipedia Español

  • Vector propio y valor propio — Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha) …   Wikipedia Español

  • Método de los elementos finitos — Solución de MEF en 2D para una configuración de un magnetostato, (las líneas muestran la dirección de la densidad de flujo calculada, y el color, su magnitud) …   Wikipedia Español

  • Mínimos cuadrados — El resultado del ajuste de un conjunto de datos a una función cuadrática. Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta… …   Wikipedia Español

  • Símbolos matemáticos — Anexo:Símbolos matemáticos Saltar a navegación, búsqueda Contenido 1 Genéricos 1.1 = 1.2 ≔≡:⇔ 2 Aritmética …   Wikipedia Español

  • Jerga informática — Anexo:Jerga informática Saltar a navegación, búsqueda El lenguaje de la informática está caracterizado por emplear numerosos anglicismos, puesto que el idioma inglés se ha convertido en la lengua franca de la informática. El uso de algunas… …   Wikipedia Español

  • Anexo:Jerga informática — El lenguaje de la informática está caracterizado por emplear numerosos anglicismos, puesto que el idioma inglés se ha convertido en la lengua franca de la informática. El uso de algunas palabras difiere en España e Hispanoamérica. Índice: A B C D …   Wikipedia Español

  • Cuaternión — Saltar a navegación, búsqueda Los cuaterniones son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i2 …   Wikipedia Español

  • Anexo:Símbolos matemáticos — Genéricos Símbolo Nombre se lee como Categoría = igualdad igual a todos x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente. 1 + 2 = 6 − 3 …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”