Segmento circular

Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Contenido

Fórmulas

Un segmento circular (en verde) está comprendido entre una secante o cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos puntos extremos son los de la cuerda.

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular, y d la altura de la porción triangular.

  • El radio es R = h + d \frac{}{}
  • La longitud del arco es s = R \cdot \theta, donde \theta \, está en radianes.
  • La longitud de la cuerda es c = 2R\sin\frac{\theta}{2} = R\sqrt{2-2\cos\theta}
  • La altura es h = R(1-\cos\frac{\theta}{2})
  • El ángulo es \theta = 2\arccos\frac{d}{R}

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

A = \pi R^2 \cdot \frac {\theta}{2 \pi} - \frac {R^2 \sin \theta}{2} = \frac{R^2}{2} \left(\theta - \sin\theta \right)


Demostración alternativa

El área del sector circular es: A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac {R^2 \cdot \theta}{2}

Si se bisecciona el ángulo θ, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

R\sin \frac{\theta}{2} \cdot R\cos \frac{\theta}{2} = R^2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

A = R^2\left(\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \,, por lo tanto:

\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \sin\theta

con lo que resulta que el área es:

A = R^2 \left(\frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} \sin\theta \right) = \frac{R^2}{2} \left(\theta - \sin\theta \right)

Véase también

Enlaces externos


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