Símbolo de Kronecker

Símbolo de Kronecker
Este artículo trata sobre el símbolo en teoría de números. Para otros usos de este término, véase delta de Kronecker.

En teoría de números, el símbolo de Kronecker, escrito como \left(\frac an\right) o (a|n), es una generalización del símbolo de Jacobi para todos los números enteros n. Fue introducido por Leopold Kronecker.

Definición

Sea n un número entero distinto de cero, con una factorización en números primos

u \cdot {p_1}^{e_1} \cdots {p_k}^{e_k},

donde u es una unidad (p.e., u es 1 o −1), y los pi son números primos. Sea a un entero. El símbolo de Kronecker (a|n) se define como:

\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{u}\right) \prod_{i=1}^k \left(\frac{a}{p_i}\right)^{e_i}.

Para números impares pi, el (a|pi) se reduce simplemente al símbolo de Legendre. Queda el caso en el que pi = 2. Se define (a|2) por

\left(\frac{a}{2}\right) = \begin{cases} 0 & \mbox{si }a\mbox{ es par,} \\ 1 & \mbox{si } a \equiv \pm1 \pmod{8}, \\ -1 & \mbox{si } a \equiv \pm3 \pmod{8}. \end{cases}

Puesto que extiende el símbolo de Jacobi, la cantidad (a|u) es simplemente 1 cuando u = 1. Cuando u = −1, se define éste por

\left(\frac{a}{-1}\right) = \begin{cases} -1 & \mbox{si }a < 0, \\ 1 & \mbox{si } a \ge 0. \end{cases}

Finalmente, tenemos que

\left(\frac a0\right)=\begin{cases}1&\text{si }a=\pm1,\\0&\text{de otra manera.}\end{cases}

Estas extensiones son suficientes para definir el símbolo de Kronecker para todos los valores enteros n.

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