Símbolo de Jacobi

Símbolo de Jacobi

El símbolo de Jacobi, denotado como \left ( \frac{m}{n} \right), es una función función aritmética que toma dos argumentos y devuelve un valor entero comprendido en el intervalo [ − 1,1]. En esencia se puede considerar como una generalización del símbolo de Legendre para valores impares de n que no necesariamente han de ser primos. Debe su nombre al matemático Carl Gustav Jakob Jacobi.

Definición

Sea m un número entero y n un número natural impar, se denomina símbolo de Jacobi a la expresión:

\left ( \frac{m}{n} \right) = \prod_{i=1}^{k}\left ( \frac{m}{p_i} \right)^{a_i}

donde para todo i, pi es primo y ai es un número natural, siendo n = \prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i} y denotando mediante \left ( \frac{m}{p_i} \right) el símbolo de Legendre.

Obviamente, cuando n es un número primo, el correspondiente símbolo de Jacobi se reduce al de Legendre.

Propiedades

El símbolo de Jacobi satisface las mismas reglas que aquél al que generaliza, además de algunas adicionales:

i) Si n | m entonces \left ( \frac{m}{n} \right)=0.
ii) Un caso especial de esto último es que \left ( \frac{m}{m} \right)=0.
iii) Si m y n son números impares primos relativos entre sí, y n \geq 3 se cumple la siguiente relación:
\left ( \frac{m}{n} \right)\left ( \frac{n}{m} \right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}

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