Símbolo de Legendre

Símbolo de Legendre

El símbolo de Legendre, \left ( \frac{a}{p} \right), es una función multiplicativa utilizada en teoría de números que toma como argumentos un entero a y un primo p y devuelve uno de los valores 1, -1, ó 0 dependiendo de si a es o no residuo cuadrático módulo p, es decir de si la congruencia

x^2 \equiv a \pmod p

tiene o no solución.

Contenido

Definición

Dado un número a y un primo p, se define el s:

\left ( \frac{a}{p} \right ) = \begin{cases} 0 & \mbox{si } p \mbox{ divide a }a \\ 1 & \mbox{si } a\mbox{ es residuo cuadrático módulo } p \\ -1 & \mbox{si } a\mbox{ no es residuo cuadrático módulo } p \\ \end{cases}

Formulaciones alternativas

Para algunos valores concretos de a, el símbolo de Legendre aún puede simplificarse más:

a) \left ( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{(p-1)/2}.
b) \left ( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{(p^2-1)/8}.

Propiedades

El símbolo de Legendre satisface algunas propiedades interesantes:

i) \left ( \frac{q}{p} \right ) = \left ( \frac{p}{q} \right ) (-1)^{[(p-1)/2][(q-1)/2]}
ii) \left ( \frac{ab}{p} \right) =\left ( \frac{a}{p} \right) \left ( \frac{b}{p} \right) .

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