- Cálculo de variaciones
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El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.
Contenido
Formulación general
Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la función f(x) alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función f(x) para la cual un funcional I[f] alcance un valor extremo. El funcional I[f] está compuesto por una integral que depende de x, de la función f(x) y algunas de sus derivadas.
![I[f]=\int_a^b f(x,p(r),c'(x),...)\,dx](b/b7befded7a0966274ef6240f7a57623d.png)
Donde la función f(x) pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.
Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a x ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para f.
Problemas históricos
Problema Isoperimétrico
¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.
Ejemplo: Sean dos puntos A = (a,0),B = (b,0) en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir AB = l. El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería:
Hallar una función f(x) de modo que,
![I[f]=\int_a^b f(x) dx =](5/965bb00850133c15f09694697d293171.png)
maxcon las restricciones
![G[f] = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l](5/3854da14d1a3681c134615fc12105079.png)
(longitud de arco)f(a) = f(b) = 0
Braquistócrona
El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto P = (x0,y0) al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de P al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,
![T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}}
{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx =](a/daae16c0982db7df1c9496ac08370fe2.png)
mindonde g es la gravedad y las restricciones son, f(0) = 0, f(x0) = y0. Hay que notar que en x = x0 existe una singularidad.
Véase también
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