Campo electrostático

Campo electrostático

Campo electrostático

Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para influir entre ellas y por ello las fuerzas eléctricas son consideradas fuerzas de acción a distancia. En virtud de ello se recurre al concepto de campo electrostático para facilitar la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas ejercen sobre el espacio que las rodea.

Contenido

El concepto de campo

Artículo principal: Campo (física)

El concepto de campo surge ante la necesidad de explicar la forma de interacción entre cuerpos en ausencia de contacto físico y sin medios de sustentación para las posibles interacciones. La acción a distancia se explica, entonces, mediante efectos provocados por la entidad causante de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles. Así, será posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores que dependerán de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca la interacción y de la ubicación del punto que se considera.

El campo eléctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga, una propiedad local asociada al mismo. Una vez conocido el campo en un punto no es necesario saber qué lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad relacionada con él.

Así, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico, se observará la aparición de atracciones o de repulsiones sobre ella. Una forma de describir las propiedades de este campo sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una carga determinada si se trasladara de un punto a otro del espacio. Al utilizar la misma carga de prueba es posible comparar la intensidad de las atracciones o repulsiones en los distintos puntos del campo. La carga de referencia más simple, a efectos de operaciones, es la carga unidad positiva. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido.

Interacciones entre dos cargas Q y q

Interacciones entre Q y q.

Considérese una carga Q fija en una determinada posición (ver figura). Si se coloca otra carga q en un punto P1, a cierta distancia de Q, aparecerá una fuerza eléctrica actuando sobre q.

Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como P2, P3 etc., evidentemente, en cada uno de ellos, también estaría actuando sobre q una fuerza eléctrica, producida por Q. Para describir este hecho, se dice que en cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo eléctrico originado por esta carga.

Obsérvese en la figura que el campo eléctrico es originado en los puntos P1, P2, P3 etc., por Q, la cual, naturalmente, podrá ser tanto positiva (la de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro, para verificar si en ellos existe, o no, un campo eléctrico, se denomina carga de prueba.

El campo eléctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por \vec E \,\! y que se denomina vector campo eléctrico.

El módulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del campo eléctrico en ese punto. Para definir este módulo, considérese la carga Q de la figura, generando un campo eléctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de prueba q en un punto P1, se verá que sobre ella actúa una fuerza eléctrica. La intensidad del campo eléctrico en P1 estará dada, por definición, por la expresión:

{\vec E} = \lim_{q \to 0} \frac {\vec F}{q}

La expresión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en cualquier otro punto, tales como P2, P3, etc. El valor de E será diferente para cada uno de ellos.

De {\vec E} = \frac {\vec F}{q} obtemos {\vec F} = {\vec E} q , lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo eléctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresión anterior, el módulo de la fuerza que actúa sobre una carga cualquiera ubicada en aquél punto.

Campo eléctrico creado por una carga puntual

El campo que crea una carga puntual Q se deduce a partir de la ley de Coulomb.

Consideremos una carga de prueba Q0, colocada a una distancia r de una carga punto Q. La fuerza entre ambas cargas, medida por un observador en reposo respecto a la carga Q estará dada por:

\vec F = \frac{Q_0 Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\vec u_r

La intensidad del campo eléctrico en el sitio en que se coloca la carga de prueba está dada por:

\vec E = \frac {\vec F}{Q_0}

y por lo tanto resulta:

\vec E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \vec u_r = K\frac{Q}{r^2}\vec u_r

donde u_r\,\! es un vector unitario en la dirección radial, \epsilon_0\,\! = 8,85 \times 10^{-12}\,\! C^2/N m^2\,\! es la llamada permitividad del vacío y K \,\! es la constante de Coulomb cuyo valor es 8,98 \times 10^9\,\! N m^2/C^2\,\!. Donde se tienen las equivalencias K = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} y \epsilon_0 = \frac{1}{4 \pi K } respectivamente. La unidad de intensidad de campo eléctrico es [N/C]\,\! (Newton por Culombio) o [V/m]\,\! (Voltio por Metro).

Principio de superposición

La influencia del campo producido por una carga aislada se puede generalizar al caso de un sistema formado por más de una carga y luego extenderse al estudio de un cuerpo cargado. Experimentalmente se verifica que las influencias de las cargas aisladas que constituyen un sistema son aditivas, o en otras palabras, se suman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E en un punto cualquiera del espacio que rodea a varias cargas será la suma vectorial de las intensidades de los campos debidos a cada una de las cargas individualmente consideradas. Matemáticamente se puede considerar la siguiente ecuación:

\vec{E} = \sum^n_{i = 1}\vec{E}_i = K \sum^n_{i = 1} \frac {q_i} {\|\vec r\|^ 2} \hat r

Donde K es la constante arbitraria; n es la cantidad de cargas tenidas en cuenta; \|\vec r\| es la magnitud del vector distancia entre el punto donde se quiere hallar el campo eléctrico total y la carga i; y \hat r es el vector unitario formado de la misma manera. Más adelante se trabajará mejor esta ecuación.

Representación gráfica del campo eléctrico

Una forma muy útil de esquematizar gráficamente un campo es trazar líneas que vayan en la misma dirección que dicho campo en varios puntos. Esto se realiza a través de las líneas de fuerza, líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido se trata de una cantidad vectorial, y será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado.

Según la primera ley de Newton, la fuerza que actúa sobre una partícula produce un cambio en su velocidad; por lo tanto, el movimiento de una partícula cargada en una región dependerá de las fuerzas que actúen sobre ella en cada punto de dicha región.

Ahora considérese una carga q, situada en un punto sobre la que actúa una fuerza \vec F que es tangente a la línea de campo eléctrico en dicho punto. En vista de que las líneas del campo eléctrico varían en su densidad (están más o menos juntas) y dirección, podemos concluir que la fuerza que experimenta una carga tiende a apartarla de la línea de campo eléctrico sobre la que se encuentra en cada instante.

En otras palabras, una carga bajo los efectos de un campo eléctrico no seguirá el camino de la línea de fuerza sobre la que se encontraba originalmente.

La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo, es la siguiente:

  1. La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en ese punto.
  2. El número de líneas de fuerza por unidad de área de sección transversal es proporcional a la magnitud de E. Cuanto más cercanas estén las líneas, mayor será la magnitud de E.

No es obvio que sea posible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan estos requisitos. De hecho, se encuentra que si la ley de Coulomb no fuera cierta, no sería posible hacerlo.

Si un elemento de superficie de área \Delta\ A es atravesado por \Delta\ N líneas y si la intensidad del campo eléctrico en el centro del elemento de superficie es E, se tiene que:

\frac{\Delta\ N}{\Delta\ A_n}\propto E

EL subíndice n indica que \Delta\ A es normal a E. Para convertir esta proporcionalidad en ecuación se elige ε0 como constante de proporcionalidad. Así, se espacian arbitrariamente las líneas de fuerza de modo que, en cualquier punto, el número de líneas por unidad de superficie y la intensidad del campo eléctrico esté ligado por la relación:

\frac{\Delta\ N}{\Delta\ A_n}= \epsilon_0 E

Considérense, ahora, las líneas de fuerza que salen de una carga puntual positiva q y una esfera de radio r arbitrario rodeando la carga y de modo que ésta se encuentre en el centro. La intensidad del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de esta esfera es:

E = \frac{1}{4 \pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}

En consecuencia, el número de líneas por unidad de superficie es el mismo en todos los puntos de la superficie y está dado por:

\epsilon_0 E = \frac{1}{4 \pi} \frac{q}{r^2}

Las líneas de fuerza atraviesan la superficie perpendicularmente puesto que E tiene una dirección radial. El área de la esfera es 4\pi r^2\,\!,lo que implica que el número de líneas que atraviesan la superficie es:

N=\epsilon_0 A E\,\!=q

Esto demuestra que si el valor del exponente de r, en la ley de Coulomb, no fuera 2, el número de líneas de fuerza no solo no estaría dado por el valor de q, también sería inversamente proporcional a alguna potencia de r y por ello seria imposible dibujar un conjunto continuo de líneas que cumplan los requisitos indicados más arriba.

Para la construcción de líneas de fuerza se debe tener en cuenta lo siguiente:

  • A.- Por convención, las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en cargas negativas y en ausencia de unas u otras deben partir o terminar en el infinito.
Representación de campos eléctricos creados por cargas puntuales negativa y positiva.

Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque una carga de prueba positiva se desplazaría en ese sentido. En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia ella ya que ése sería el sentido en que se desplazaría la carga positiva de prueba. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas, las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y por ello son denominadas manantiales y mueren en las negativas por lo que se les llama sumideros.

  • B.- Las líneas de fuerza jamás pueden cruzarse.

Las líneas de fuerza o de campo salen de una carga positiva o entran a una negativa. De lo anterior se desprende que de cada punto de la superficie de una esfera, suponiendo forma esférica para una carga, puede salir o entrar solo una línea de fuerza, en consecuencia entre dos cargas que interactúan solo puede relacionarse un punto de su superficie con solo un punto de la otra superficie, y ello es a través de una línea, y esa línea es la línea de fuerza.

Si se admitiera que dos líneas de fuerza se interceptan, entonces se podría extender la superficie de la otra carga hacia el lugar donde se interceptan las líneas que se mencionan y se podría concluir que dos líneas entran o salen de una superficie de una carga eléctrica. Con esto se está contradiciendo lo postulado inicialmente. En consecuencia, es imposible que dos líneas de fuerza se intercepten.

Por otra parte, si las líneas de fuerza se cortaran, significaría que en dicho punto E poseería dos direcciones distintas, lo que contradice la definición de que a cada punto sólo le corresponde un valor único de intensidad de campo.

  • C.- El número de líneas de fuerza que parten de una carga positiva o llegan a una carga negativa es proporcional a la cantidad de carga respectiva.
  • D.- Las líneas de fuerza deben ser perpendiculares a las superficies de los objetos en los lugares donde conectan con ellas.

Esto se debe a que en las superficies de cualquier objeto, sin importar la forma, nunca se encuentran componentes de la fuerza eléctrica que sean paralelas a la superficie del mismo. Si fuera de otra manera, cualquier exceso de carga residente en la superficie comenzaría a acelerar. Esto conduciría a la aparición de un flujo de carga en el objeto, lo cual nunca se observa en la electricidad estática.

Representación del campo eléctrico creado por dos cargas positivas de igual magnitud y por un dipolo eléctrico.
Representación del campo eléctrico creado por dos cargas de diferente magnitud y signos opuestos.

Las representaciones anteriores reflejan el principio de superposición. Ya sea que las cargas ostenten el mismo signo o signo opuesto, las líneas de fuerza se verán distorsionadas respecto de la forma radial que tendrían si las cargas estuvieran aisladas, de forma tal, que la distorsión es máxima en la zona central, o sea, en la región más cercana a ambas. Si las cargas tienen la misma magnitud, la representación resulta simétrica respecto de la línea media que las separa. En el caso opuesto, predominará la influencia de una de ellas dando lugar a una distribución asimétrica de líneas de fuerza.

Ecuación de las líneas de fuerza

Ecuacion.PNG

Siendo el campo tangente a las líneas de fuerza, se cumple:

\frac{dy}{dx}=\frac{E_y}{E_x}

donde la función y=f(x)\,\! describe la forma de la línea de fuerza.

Si tenemos una sola carga puntual, todas las líneas de fuerza son rectas que parten de la carga. Efectivamente, en este caso, el campo es radial y la razón entre E_y\,\! y E_x\,\! es \frac{y}{x}, por tanto:

\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} \quad \Rightarrow \quad ln(y)= ln(x)+ C

siendo C la constante de integración. Este resultado se puede escribir como:

\ y = C' x \quad (C' = exp(C))

que es la ecuación de una recta que pasa por el origen, como era de esperar.

Comportamiento de una carga punto en un campo eléctrico uniforme

Un campo eléctrico ejerce sobre una partícula cargada una fuerza \vec F= \vec E q

Esta fuerza produce una aceleración \vec a = \frac{\vec F}{m} siendo m la masa de la partícula.


Partícula moviéndose paralelamente al campo

Considérese una partícula de masa m y carga q que se suelta a partir del reposo en un campo entre dos placas paralelas cargadas tal como se muestra en la figura.

El movimiento es similar al de un cuerpo que cae en el campo gravitacional terrestre.

La aceleración está dada por a=\frac{F}{m}

Como \,\!F=qE, se cumple que a=\frac{qE}{m}

Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, como \,\!v_0=0, se tiene que:

v=at=\frac{qEt}{m}


y=\frac{1}{2}at^2=\frac{qEt^2}{2m}


v^2=2ay=\frac{2qEy}{m}

La energía cinética adquirida luego de recorrer una distancia y será;

K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\left ( \frac{2qEy}{m} \right )=qEy

Partícula moviéndose perpendicularmente al campo

La figura muestra un electrón de masa m y carga e que es disparado con una velocidad v0 perpendicularmente a un campo uniforme \vec E.

El movimiento es similar al de un proyectil disparado horizontalmente en el campo gravitacional terrestre. En consecuencia el movimiento horizontal x y el vertical y están dados por las expresiones:

\,\!x=v_0t


y=\frac{1}{2}at^2=\frac{eE}{2m}t^2

Sustituyendo a t se obtiene:

y=\frac{eE}{2m{v_0}^2}x^2

que es la ecuación de la trayectoria.

Cuando el electrón sale de entre las placas, lo hace en una trayectoria recta tangente a la parábola en el punto de salida y puede hacerse llegar a una pantalla fluorescente \,\!P colocada a cierta distancia más allá de las placas.

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