- Código Gray
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Código Gray de dos bits 00 01 11 10
Código Gray de tres bits 000 001 011 010 110 111 101 100
Código Gray de cuatro bits 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
El código binario reflejado o código Gray, nombrado así en honor del investigador Frank Gray, es un sistema de numeración binario en el que dos valores sucesivos difieren solamente en uno de sus dígitos.
El código Gray fue diseñado originalmente para prevenir señales espurias de los switches electromecánicos. Actualmente es usado para facilitar la corrección de errores en los sistemas de comunicaciones, tales como algunos sistemas de televisión por cable y la televisión digital terrestre.
Contenido
codigo Gray
El investigador de Laboratorios Bell A. Frank Gray inventó el término código binario reflejado cuando lo patentó en 1947, remarcando que éste "no tenía nombre reconocido aún".[1] Él creó el nombre basándose en el hecho de que el código "puede ser construido a partir del código binario convencional por una suerte de 'proceso reflejante'".
El código fue llamado posteriormente "Gray" por otros investigadores. Dos patentes en 1953 dieron como nombre alternativo "código de Gray" para el "código binario reflejado";[2] [3] uno de ellas también se refiere al código como "minumum error code" (código de error mínimo) y como "cyclic permutation code" (código de permutación cíclica).[3]
Historia y aplicaciones prácticas
El código binario reflejado fue aplicado para acertijos matemáticos antes de ser usado para la ingeniería. El ingeniero francés Émile Baudot le dio una aplicación al código de Gray en 1878 en telegrafía, trabajo por el cual fue condecorado con la Legión de Honor.
El código Gray es atribuído en algunas ocasiones, en forma incorrecta,[4] a Elisha Gray (en Principles of Pulse Code Modulation, K. W. Cattermole,[5] por ejemplo.)
Hasta la primera mitad de los años 1940 los circuitos lógicos digitales se realizaban con válvulas de vacío y dispositivos electromecánicos. Los contadores necesitaban potencias muy elevadas a la entrada y generaban picos de ruido cuando varios bits cambiaban simultáneamente. Tomando esto en cuenta, Frank Gray inventó un método para convertir señales analógicas a grupos de código binario reflejado utilizando un aparato diseñado con válvulas de vacío, con lo cual garantizó que en cualquier transición variaría tan sólo un bit.
En la actualidad, el código Gray se sigue empleando para el diseño los mapas de Karnaugh, los cuales son, a su vez, utilizados en la implementación de circuitos combinacionales y circuitos secuenciales. Esto es debido a que el principio de diseño de buscar transiciones más simples y rápidas entre estados sigue vigente, a pesar de que los problemas de ruido y potencia se hayan reducido.
Utilizando el código Gray es posible resolver el problema de las Torres de Hanói. Puede incluso formar un ciclo hamiltoniano o un hipercubo, en el que cada bit se puede ver como una dimensión.
Debido a las propiedades de distancia de Hamming de los códigos de Gray, es usado en ocasiones en algoritmos genéticos.
Motivación
Las computadoras antiguas indicaban posiciones abriendo y cerrando interruptores. Utilizando tres interruptores como entradas usando Base 2, estas dos posiciones estarían una después de la otra:
... 011 100 ...
El problema con el código binario en base 2 es que con interruptores mecánicos, es realmente difícil que todos los interruptores cambien al mismo tiempo. En la transición de los dos estados mostrados arriba, tres interruptores cambian de sitio. En el lapso en el que los interruptores están cambiando, se pueden presentar salidas de información espurias. Si las salidas mencionadas alimentan un circuito secuencial, probablemente el sistema presentará un error en entrada de datos.
El código gray resuelve este problema cambiando solamente un dígito a la vez, así que no existe este problema:
Decimal Gray Binario 0 000 000 1 001 001 2 011 010 3 010 011 4 110 100 5 111 101 6 101 110 7 100 111
Nótese que desde el 7 podría pasar a 0 con un solo cambio de switch (el más significativo pasa a cero). Esta es la propiedad llamada "cíclica" del código de Gray.
Conversiones
Secuencia Binario Gray Secuencia Binario Gray 0 0000 0000 8 1000 1100 1 0001 0001 9 1001 1101 2 0010 0011 10 1010 1111 3 0011 0010 11 1011 1110 4 0100 0110 12 1100 1010 5 0101 0111 13 1101 1011 6 0110 0101 14 1110 1001 7 0111 0100 15 1111 1000 Base 2 a Gray
Para convertir un número binario (en Base 2) a código Gray, simplemente hemos de aplicarle la puerta lógica XOR al mismo número, con 1 desplazamiento a la derecha
Ejemplo: 1010 (Base 2) a gray
1010 101
0---- 1111Otros ejemplos:
111000 11100
0------ 100100110101010001 11010101000
1------------ 101111111001Gray a Base 2
Tenemos un vector a conteniendo los dígitos en gray y otro vector b destinado a contener los dígitos en Base 2
a0 es el dígito que se encuentra en el extremo izquerdo de la representación en código gray
b0 es el dígito de mayor peso y que se encuentra en el extremo izquerdo en la representación en Base 2
tenemos que:
con la excepción de que bn − 1 = an − 1, la cual se puede resumir como: el dígito de más a la izquierda en Base 2 es igual al dígito de más a la izquierda en código grayEl primer bit empezando por la izquierda del digito del código gray se respetará para la conversión a base 2, el resultado es obtener el mismo bit para el dígito binario que el que tiene en gray, para conseguir el segundo bit del binario sumaremos el primer bit del dígito del sistema binario por el segundo del sistema gray, sin tener en cuenta los acarreos y respetando la tabla de suma para binarios: 0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=10
Ejemplo: Con el número 1001 Gray
El primero de base dos es igual al primero en gray que en este caso es ( 1 )
El segundo de base dos es igual a la suma del primero de base 2 con el segundo de gray en este caso es (1)+(0)= (1)
El tercero de base dos es igual a la suma del segundo de base2 con el tercero de gray en este caso es (1)+(0)= (1)
El cuarto de base dos es igual a la suma del tercero de base dos con el cuarto de gray es este caso es (1)+(1)=10 tomamos el cero del 10 descartando el acarreo por lo que tenemos (0)
Esto da como resultado 1110
Referencias
- ↑ F. Gray. Pulse code communication, 17 de marzo de 1953 (archivado en nov 1947). Patente USPTO n.º 2632058
- ↑ J. Breckman. Encoding Circuit, 31 de enero de 1956 (archivado en dic 1953). Patente USPTO n.º 2733432
- ↑ a b E. A. Ragland et al. Direction-Sensitive Binary Code Position Control System, 11 de febrero de 1958 (archivado oct 1953). Patente USPTO n.º 2823345
- ↑ Knuth, Donald E. "Generating all n-tuples." The Art of Computer Programming, Volumen 4A: Enumeration and Backtracking, pre-fascículo 2a, 15 de octubre de 2004. [1]
- ↑ K. W. Cattermole, Principles of Pulse Code Modulation, American Elsevier Publishing Company, Inc., 1969, New York NY, ISBN 0-444-19747-8.
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