Función compuesta

Función compuesta
g o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): XZ como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

X \to \,\,Y\;\; \to \;\;\,Z
x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))

A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Ejemplo

Sean las funciones:

 f(x) = x^2 \,
 g(x) = sin(x) \,

La función compuesta de g y de f que expresamos:

 (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 = sin^2 (x) \,

La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

 z = g(x)=sin(x) \,

y después aplicamos f a z para obtener

 y = f(z) = z^2 = sin^2(x) \,

Función bien definida

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

  1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia.
  2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

Propiedades

  • La composición de funciones es asociativa, es decir:

h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f

  • La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

(g \circ f) \neq (f\circ g)

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
  • La inversa de la composición de dos funciones es:

 (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}


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