Derivada de x^n

Derivada de x^n

Derivada de x^n

Demostración de la derivada de F(x)=x^n

Dada f\left(x\right)=x^n se pude obtener f'\left(x\right) mediante el teorema del binomio de Newton.

A continuación se presenta la demostración:

f(x)\,\! = x^n \,\!
f'(x) \,\! = \lim_{h\to 0} {(x+h)^n-(x)^n\over h}
= \lim_{h\to 0} {{x^n + {(nx^{n-1}h)\over 1!} + {(n(n-1)x^{n-2}h^2)\over 2!}+ {(n(n-1)(n-2)x^{n-3}h^3)\over 3!} + ... + h^n - x^n}\over h}
= \lim_{h\to 0} {{{(nx^{n-1}h)\over 1!} + {(n(n-1)x^{n-2}h^2)\over 2!}+ {(n(n-1)(n-2)x^{n-3}h^3)\over 3!} + ... + h^n}\over h}
= \lim_{h\to 0} {{ h ({(nx^{n-1})\over 1!} + {(n(n-1)x^{n-2}h)\over 2!}+ {(n(n-1)(n-2)x^{n-3}h^2)\over 3!} + ... + h^{n-1})}\over h}
= \lim_{h\to 0} {{{(nx^{n-1})\over 1!} + {(n(n-1)x^{n-2}h)\over 2!}+ {(n(n-1)(n-2)x^{n-3}h^2)\over 3!} + ... + h^{n-1}}}
= {(nx^{n-1})\over 1!}
= nx^{n-1} \,\!

Otra demostración se puede obtener utilizando los logaritmos, partiendo de que ya conocemos la derivada de la función exponencial, la del logaritmo y la regla de la cadena:

\left[ x^{n} \right]'=\left[ e^{n\log x} \right]'=e^{n\log x}\frac{n}{x}=x^{n}\frac{n}{x}=nx^{n-1}
Obtenido de "Derivada de x%5En"

Wikimedia foundation. 2010.

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