Derivada

Derivada
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

Contenido

Historia de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Siglo XVII

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz

Artículos principales: Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} y el símbolo de la integral \int.

Conceptos y aplicaciones

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Introducción geométrica a las derivadas

Supongamos que tenemos una función y la llamamos f\,. La derivada de f\, es otra función que llamaremos f'\,.

f'(x)\, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f\, en el punto x\,.

En términos geométricos, esta pendiente f'(x)\, es «la inclinación» de la línea recta que pasa justo por encima del punto (x, f(x))\, y que es tangente a la gráfica de f\,.

Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.

Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece (o decrece) muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en ese punto.

Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento (o decrecimiento) en un punto x\, de una función f\, está dado por f'(x)\,.

No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varios motivos. Por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente. También se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua. Incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente.

Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.

Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.

Condiciones de continuidad de una función

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, \lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0, y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda \lim_{\Delta x \to 0}f(\Delta x +x)-y=0 donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que \lim_{x \to a}f_{(x)}=f_{(a)}, y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

\lim_{x \to a+}f(x)= \lim_{x \to a-}f(x)=\lim_{x \to a}f(x)=f(a) es continua en el punto a.

Condición no recíproca

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto (0,0) \,. Dicha función es equivalente a la función partida \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x> 0 \\ -1, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

Cuando x \, vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.

Definición analítica de derivada como un límite

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y\, cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x\,.

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P\, de la función por el resultado de la división representada por la relación \frac{dy}{dx}, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P\, de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto P\,, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de \frac{dy}{dx} es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto a\, se define como sigue:


f'(a)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h},

Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a},

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de a\,. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

Notación

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f\, respecto al valor x\, en varios modos:

se lee «efe prima de equis»

se lee «d\, sub x\, de f\,», y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.

se lee «punto x\,» o «x\, punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

  • \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}, \frac {\mathrm df}{\mathrm dx} ó \frac {\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) {Notación de Leibniz}

se lee «derivada de y\, (f\, ó f\, de x\,) con respecto a x\,». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f\, en el punto a, se escribe:

f^\prime(a) para la primera derivada,
f^{\prime\prime}(a) para la segunda derivada,
f^{\prime\prime\prime}(a) para la tercera derivada,
f^{(n)}(a)\, para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).

Para la función derivada de f\, en x\,, se escribe f^\prime(x)\,. De modo parecido, para la segunda derivada de f\, en x\,, se escribe f^{\prime\prime}(x)\,, y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f\,, se escribe:

\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}.

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\right)(a).

Si y=f(x)\,, se puede escribir la derivada como

\mathrm dy \over \mathrm dx

Las derivadas sucesivas se expresan como

\frac{\mathrm d^n\left(f(x)\right)}{\mathrm dx^n} o \frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}

para la enésima derivada de f\, o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm d \left( \frac{\mathrm d \left(f(x)\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}

la cual se puede escribir como

\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{\mathrm d^3}{\left(\mathrm dx\right)^3} \left(f(x)\right).

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

\dot{x} = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = x^\prime(t)
\ddot{x} = x^{\prime\prime}(t)

y así sucesivamente.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.

Diferenciabilidad

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.

Si una función es diferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.

La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

Cociente de diferencias de Newton

Derivative.png

La derivada de una función f\, es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de f\, en x\,. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x,f(x))\,. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h\, relativamente pequeño. h\, representa un cambio relativamente pequeño en x\,, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos ( x, f(x) ) \, y ( x+h, f(x+h) ) \, es

f(x + h) - f(x) \over h .
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).

Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}.

Si la derivada de f \, existe en todos los puntos x \,, se puede definir la derivada de f \, como la función cuyo valor en cada punto x \, es la derivada de f \, en x \,.

Puesto que sustituir h \, por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h \, del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.


Sea f \, una función continua, y C \, su curva. Sea x=a \, la abscisa de un punto regular, es decir donde C \, no hace un ángulo. En el punto A(a,f(a)) \, de C \, se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f^\prime(a), el número derivado de f \, en a \,.

La función a\rightarrow f^\prime(a) es la derivada de f \,.

Pendiente.png

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f^\prime(a), se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de f^\prime(a) determina si la función f \, crece o decrece.

Derivada.png

En este gráfico se ve que donde f \, es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f^\prime \, es positiva, como en el punto D \, (x=d \,), mientras que donde f \, es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f^\prime es negativa, como en el punto B \, (x=b \,). En los puntos A \, y C \,, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego f^\prime(a)=0=f^\prime(c).

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:

f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}

Por ejemplo, sea

f\left(x\right) = x^2

entonces:

\begin{array}{rcl} f^\prime(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h)\\ &=& 2x \end{array}

Lista de derivadas de funciones elementales

Artículo principal: Anexo:Derivadas

En las fórmulas siguientes se considera que x,a,b,k \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}:

f\left(x\right) = a f'\left(x\right) = 0
f\left(x\right) = x f'\left(x\right) = 1
f\left(x\right) = ax f'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = ax + b f'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = x^n f'\left(x\right) = nx^{n-1}
f\left(x\right) = \sqrt{x} f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
f\left(x\right) = e^x f'\left(x\right) = e^x
f\left(x\right) = \ln(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{x}
f\left(x\right) = a^x (a >0) f'\left(x\right) = a^x \ln(a)
f\left(x\right) = \log_{b}(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{x\ln(b)}
f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = x^{-n} f'\left(x\right) = -nx^{-n-1} = \frac{-n}{x^{n+1}}
f\left(x\right) = \operatorname{sen}(x) f'\left(x\right) = \cos(x)
f\left(x\right) = \cos(x) f'\left(x\right) = -\operatorname{sen}(x)
f\left(x\right) = \tan(x) f'\left(x\right)=\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
f\left(x\right) = \csc(x) f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)
f\left(x\right) = \sec(x) f'\left(x\right) = \sec(x)\tan(x)
f\left(x\right) = \cot(x) f'\left(x\right) = -\csc^2(x)
f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arccos(x) f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arctan(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}
f\left(x\right) = g(x) \pm h(x) f'\left(x\right) = g'(x) \pm h'(x)
f\left(x\right) = g(x) \cdot h(x) f'\left(x\right) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
f\left(x\right) = k \cdot g(x) f'\left(x\right) = k \cdot g'(x)
f\left(x\right) = \frac{g(x)}{h(x)} f'\left(x\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)}
f\left(x\right) = g\left(x\right)^{h\left(x\right)} f'\left(x\right) = h\left(x\right) \cdot g'\left(x\right) \cdot g\left(x\right)^{\left(h\left(x\right)-1\right)} + g\left(x\right)^{h\left(x\right)} \cdot h'\left(x\right) \cdot ln\left(g\left(x\right)\right)
f\left(x\right) = g \circ h = g(h(x)) f'\left(x\right) = (g'\circ h) \cdot h' = g'(h(x)) \cdot h'(x) (regla de la cadena)

Ejemplos

Ejemplo #1

Sea f \, la función f(x)=2x^3-9x^2-24x+51 \,, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por \mathbb R \,). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

f^\prime(x)=6x^2-18x-24

Para encontrar el signo de f^\prime(x), se tiene que factorizar:

\begin{array}{rcl}f^\prime(x)&=&6(x^2-3x-4)\\&=&6(x+1)(x-4)\end{array}

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.

También se observa su segunda derivada:

f''(x) = 12x − 18

Dado que f'(-1)=0\, y f''(-1)<0\, entonces f\, tiene un máximo local en -1 y su valor es f(-1)=64\,.

Dado que f'(4)=0\, y f''(4)>0\, entonces f\, tiene un mínimo local en 4 y su valor es f(4)=-61\,.

Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de x tales que f'(x)=0\,, los cuales son x=-1\, y x=4\,, tomando en cuenta el teorema del valor medio y que f''(-1)<0\, entonces la derivada es negativa en el intervalo (-1, 4)\, por lo tanto la función es decreciente en el intervalo [-1, 4]\,.

Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo [4, \infty)\, y en el intervalo (-\infty, -1]\,.

Ejemplo #2

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.

\mathit{f} (x)= 3x-2 \,
\mathit{f} (x+\Delta x)= 3(x+\Delta x)-2 \,
\mathit{f'} (x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\mathit{f}(x+\Delta x)-\mathit{f}(x)}{\Delta x}

Sustituir datos:

\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3(x+\Delta x)-2-(3x-2)}{\Delta x}

Desarrollar:

\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3x +3\Delta x-2-3x+2}{\Delta x}
\lim_{\Delta x\to 0} \frac{3\Delta x}{\Delta x}
\mathit{f'} (x) = \lim_{\Delta x\to 0}3 = 3

Entonces, la derivada de la función \mathit{f} (x)= 3x-2 \, es:

\mathit{f'} (x) = 3 \,

Ejemplo #3

Encuentra la derivada de:

g(x)= \sqrt{(1+2x)}
g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h}

Racionalizando:

g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1+2(x+h)}-\sqrt{1+2x}}{h} * \frac{\sqrt{1+2x+h}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1+2x+h}+\sqrt{1+2x}}
g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{1+2x+2h-1-2x}{h(\sqrt{1+2x+2h}+\sqrt{1+2x})}
g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x})}
g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}

Calculamos el límite:

g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+h)}+\sqrt{1+2x}}
g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2(x+0)}+\sqrt{1+2x}}
g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2x}}
g'(x)= \frac{2}{2\sqrt{1+2x}}
g'(x)= \frac{1}{\sqrt{1+2x}}

Generalizaciones

El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:

  • Para funciones de varias variables:
  • En análisis complejo:
  • Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas
  • En análisis funcional:
    • Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales.
    • Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita.
    • Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.
  • Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:
  • Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo \R^n de dimensión n finita).
  • La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

Véase también


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  • derivada — sustantivo femenino 1. Área: matemáticas Magnitud que expresa la variación de una función respecto a su variable: hallar la derivada …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • derivada — s. f. [Matemática] Limite da razão entre o acréscimo de uma função e o acréscimo da variável independente, quando tende para zero.   ‣ Etimologia: feminino do particípio de derivar …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • derivada — ► sustantivo femenino MATEMÁTICAS Límite hacia el cual tiende el cociente entre el incremento de una función y el correspondiente de la variable cuando este último tiende a cero, en una función matemática. * * * derivada f. Mat. Límite hacia el… …   Enciclopedia Universal

  • derivada — {{＃}}{{LM D11980}}{{〓}} {{［}}derivada{{］}} ‹de·ri·va·da› {{《}}▍ s.f.{{》}} Véase {{D11981}}{{上}}derivado, derivada{{下}} …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • derivada — s f 1 (Mat) Operación matemática con que se calcula la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto de la variable independiente, y resultado de esta operación. Así, por ejemplo, la aceleración es la derivada de la velocidad, variable… …   Español en México

  • Derivada logarítmica — Saltar a navegación, búsqueda En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula donde f ′ es la derivada de f. Cuando f es una función… …   Wikipedia Español

  • Derivada parcial — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y… …   Wikipedia Español

  • Derivada direccional — Saltar a navegación, búsqueda En el Análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a …   Wikipedia Español

  • Derivada funcional — Saltar a navegación, búsqueda En las matemática y la física teórica, la derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con… …   Wikipedia Español

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