Derivada funcional

Derivada funcional

Derivada funcional

En las matemática y la física teórica, la derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con respecto a una variable, uno diferencia una funcional con respecto a una función.

Definición

Dos posibles, restringidas definiciones convenientes para ciertos cómputos se dan aquí. Hay definiciones más generales de derivadas funcionales. La primera de ellas es la derivada de Gâuteaux (que generaliza el concpeto de derivada direccional a espacios Banach de dimensión infinita):

Para cualquier funcional F que mapea funciones \phi\; de la variedad \mathcal{M} a \mathbb{R} o \mathbb{C}, entonces, la derivada funcional en el sentido de Gâteaux es una distribución tal que para todas las funciones de prueba (test) f:

(1) \left(\frac{\delta F}{\delta \phi}[\phi]\right)_{[f]}=\frac{d}{d\epsilon}F[\phi+\epsilon f].

El límite anterior no tiene por que existir, peor aún, aún cuando el límite existe puede depender de la función f escogida, por lo que la definición anterior debe entenderse más bien como una generalización de la derivada direccional, más que como una generalización del concepto de función diferenciable.

Definición alternativa

También se puede definir la derivada funcional en términos de un límite que involucra la delta de Dirac, δ:

(2) \frac{\delta F[\phi(x)]}{\delta \phi(y)}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\phi(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\phi(x)]}{\varepsilon}.

Las definiciones (2) y (3) no son equivalentes, ya que el resultado de la primera es siempre otro funcional, mientras que el resultado de la segunda definción es una distribución. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo:

Eval_{x_0}[\phi] \mapsto \phi(x_0) \left[= \int_\mathbb{R} \delta(x-x_0)\phi(x)\ dx \right]

Las derivadas en los dos sentidos anteriores vienen dadas por:

\left(\frac{\delta Eval_{x_0}}{\delta \phi}\right)_{[f]} = f(x_0) \qquad \frac{\delta Eval_{x_0}[\phi(x)]}{\delta \phi(y)} = \delta(x_0-y)


Diferenciabilidad funcional

Si se considera una familia uniparamétrica de funciones suaves \psi_\lambda:M \longrightarrow \mathbb{R}^n y se considera la función de una variable real construida a partir de un funcional:

S_\lambda = S[\psi_\lambda]\;

Y suponiendo que para toda familia como la anterior que satisfaga determinadas condiciones existen las siguientes derivadas:

\delta\psi = \left . \frac{d\psi_\lambda}{d\lambda}\right|_{\lambda=0} \qquad \left . \frac{dS_\lambda}{d\lambda}\right|_{\lambda=0} = \int_M \chi \delta\psi

En esas condiciones se define la derivada funcional como:

\left .\frac{\delta S_\lambda}{\delta \lambda}\right|_{\psi_0} = \chi

Nótese que se se satisface la anterior ecuación entonces el funcional lineal permite aproximar hasta primer orden al funcional original S\;.

Obtenido de "Derivada funcional"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Derivada funcional — En las matemáticas y la física teórica, la derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con respecto a una variable, uno… …   Enciclopedia Universal

  • Funcional — Saltar a navegación, búsqueda Contenido 1 Algo que trabaja correctamente 2 Matemáticas 2.1 El significado original 2.2 …   Wikipedia Español

  • Derivada direccional — Saltar a navegación, búsqueda En el Análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a …   Wikipedia Español

  • Derivada — La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo). En matemáticas, la derivada de una función es una medida… …   Wikipedia Español

  • Funcional (matemática) — En matemáticas, el término funcional se aplica a ciertas funciones. Hay dos maneras comunes en que se aplica: éstas se relacionan históricamente, pero divergen algo durante el siglo XX. Contenido 1 El significado original 2 Ecuación funcional 3… …   Wikipedia Español

  • Teoría del funcional de la densidad — La Teoría del Funcional de la Densidad (DFT en sus siglas en inglés) es un procedimiento variacional alternativo a la solución de la ecuación de Schrödinger, en el que el parámetro a optimizar es el funcional que relaciona la distribución de… …   Wikipedia Español

  • Análisis funcional — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Análisis funcional (desambiguación). El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen… …   Wikipedia Español

  • Finanza funcional — Saltar a navegación, búsqueda El termino finanza funcional fue introducido por Abba Lerner como contraste al de “finanzas sanas o prudentes”. Las finanzas funcionales se refieren al manejo practico de los deficits fiscales y la cantidad de… …   Wikipedia Español

  • Diversidad funcional — Saltar a navegación, búsqueda Diversidad funcional es un término alternativo al de discapacidad que ha comenzado a utilizarse en España por iniciativa de los propios afectados. El término fue propuesto en el Foro de Vida Independiente, en enero… …   Wikipedia Español

  • Análisis funcional — El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier y en el… …   Enciclopedia Universal

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”