Doble producto vectorial

Doble producto vectorial
Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión \,\mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right)   o  \,\left(\mathbf A \times \mathbf B \right) \times \mathbf C ; esto es, al producto vectorial de dos vectores que se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Contenido

Propiedades

Regla del Chanchito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

El producto vectorial de tres vectores a la expresión \, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) es un vector contenido en el plano definido por los vectores \mathbf B y \mathbf C, ya que puede demostrarse que se verifica

\, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) = \mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)- \mathbf C \left( \mathbf A \cdot\mathbf B\right)

Evidentemente, el producto vectorial no tienen la propiedad asociativa, ya que

\, \left(\mathbf A \times \mathbf B \right)\times \mathbf C = -\mathbf C \times \left(\mathbf A \times \mathbf B \right) = \mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)- \mathbf A \left( \mathbf B \cdot\mathbf C\right)

es un vector contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

\, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) \neq \left(\mathbf A \times \mathbf B \right)\times \mathbf C

resultando fundamental la colocación de los paréntesis.

Identidad de Jacobi: \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = 0

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

\, \mathbf{A} \times (\mathbf{B}\times \mathbf{C}) = \varepsilon_{ijk} A^j \varepsilon_{k\ell m} B^\ell C^m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m} A^j B^\ell C^m

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

\begin{align} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) & {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ & {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplaciano } \mathbf{f}. \end{align}

Ésto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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