Ecuación de Jacobi

Ecuación de Jacobi

Ecuación de Jacobi

La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial de la forma:

(a_1+b_1x+c_1y)(xdy-ydx)-(a_2+b_2x+c_2y)dy+(a_3+b_3x+c_3y)dx=0 \,

Con coeficientes reales. La ecuación de Jacobi tiene al menos una solución de la forma

\alpha_1x+\alpha_2y+\alpha_3=K \ \forall \alpha_i, K \in \mathbb R

Sea la matriz

A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}

Entonces, si el espectro de A (conjunto de autovalores de A) es

\sigma(A)=\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \} \subset \mathbb K

Y los autovalores son distintos dos a dos, definimos los coeficientes ki como las soluciones del sistema

\left.\begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^3 k_i = 0 \\ \sum\limits_{i=i}^3 \lambda_i k_i =0 \end{matrix}\right\}

Por lo tanto los coeficientes son k_1=\lambda_2 -\lambda_3; \ k_2=\lambda_3 - \lambda_1; \ k_3=\lambda_1 - \lambda_2

Sea ahora la función implícita

f_i(x,y)=\alpha_1^i x +\alpha_2^i y +\alpha_3^i

La solución de la ecuación de Jacobi dada por el autovalor λi tal que los coeficientes \alpha_j^i quedan definidos por el sistema en forma matricial

\begin{pmatrix} a_1 -\lambda_i& a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 -\lambda_i& b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3-\lambda_i \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1^i \\ \alpha_2^i \\ \alpha_3^i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Entonces la solución general de la ecuación de Jacobi viene dada por

\sum\limits_{i^=1}^3 f_i(x,y)^{k_i} = \beta \ \forall \beta \in \mathbb R

Obtenido de "Ecuaci%C3%B3n de Jacobi"

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