Divisibilidad

Divisibilidad

Divisibilidad

Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

Propiedades

Sean a, b, c \in \mathbb{Z}, es decir \ a, \ b y \ c son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

  1. a\mid a (Propiedad Refleja).
  2. Si a\mid b y b\mid c, entonces a\mid c (Propiedad Transitiva).
  3. Si a\mid b , entonces |a|\leq |b|.
  4. Si a\mid b y a\mid c, entonces a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}.
  5. Si a\mid b y a\mid b \pm\ c, entonces a\mid c
  6. Si a\mid b y b\mid a, entonces \ |a|=|b|.
  7. Si a\mid b y b\neq 0, entonces \frac{b}{a}\mid b.
  8. Para c\neq 0, a\mid b si y sólo si ac\mid bc
  9. Si a\mid bc y \ mcd(a,b)=1, entonces a\mid c.
  10. Si \ mcd(a,b)=1 y \ c cumple que a\mid c y b\mid c, entonces ab\mid c.

Como 0=0\cdot n y n=n\cdot 1 se tiene que n\mid 0 y 1\mid n para todo \ n entero. Si \ m no es divisible por \ n escribimos n\nmid m. Notemos que 0\nmid m para todo \ m distinto de cero, pues m\neq 0=k\cdot 0 para todo \ k entero. .

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Véase también

Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cero o cifra par. 378: porque "8" es par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.
7 Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. 469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7. 52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: La última cifra es 0.
11 Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.

Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

 42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11


44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.
13 Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es. 364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es. 432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
Obtenido de "Divisibilidad#Criterios de divisibilidad"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

  • divisibilidad — sustantivo femenino 1. Área: matemáticas Propiedad de un número entero de poder dividirse por algún otro número entero y dar cociente entero: La divisibilidad de los números pares entre dos es evidente. 2. Posibilidad de ser dividido: la… …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • divisibilidad — 1. f. Cualidad de divisible. 2. Fís. Propiedad general de los cuerpos, por la cual pueden fraccionarse …   Diccionario de la lengua española

  • Divisibilidad — ► sustantivo femenino 1 MATEMÁTICAS Fraccionabilidad, cualidad de divisible: ■ la divisibilidad hasta el infinito de un número. ANTÓNIMO indivisibilidad 2 FÍSICA Propiedad que tienen los cuerpos de dividirse en partes o fracciones. * * *… …   Enciclopedia Universal

  • divisibilidad — {{＃}}{{LM D13813}}{{〓}} {{［}}divisibilidad{{］}} ‹di·vi·si·bi·li·dad› {{《}}▍ s.f.{{》}} {{＜}}1{{＞}} Posibilidad de ser dividido: • La divisibilidad del átomo ya está demostrada.{{○}} {{＜}}2{{＞}} {{♂}}En matemáticas,{{♀}} propiedad de un número… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • divisibilidad — s f Propiedad general de la materia por la cual los cuerpos pueden dividirse …   Español en México

  • divisibilidad — f. Calidad de divisible. Una de las propiedades generales de todos los cuerpos, por la cual pueden dividirse …   Diccionario Castellano

  • Criterios de divisibilidad — Criterios en base decimal Sea n un número entero escrito en base diez. Entonces n es divisible por: ● 2 si su última cifra es par. ● 3 si la suma de todas sus cifras es divisible por 3. En esta suma, pueden descartarse las cifras 0, 3, 6 y 9. ● 4 …   Enciclopedia Universal

  • División (matemática) — En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). La división es la operación inversa de la multiplicación. Según su… …   Wikipedia Español

  • Dominio de integridad — Saltar a navegación, búsqueda Un dominio de integridad, dominio íntegro, anillo íntegro, o sencillamente dominio (este último término es un abuso de lenguaje y puede dar lugar a confusión, ya que la palabra dominio tiene varios usos en… …   Wikipedia Español

  • Teoría del orden — La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”