Divisibilidad

Divisibilidad

Divisibilidad

Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

Propiedades

Sean a, b, c \in \mathbb{Z}, es decir \ a, \ b y \ c son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

  1. a\mid a (Propiedad Refleja).
  2. Si a\mid b y b\mid c, entonces a\mid c (Propiedad Transitiva).
  3. Si a\mid b , entonces |a|\leq |b|.
  4. Si a\mid b y a\mid c, entonces a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in  \mathbb{Z}.
  5. Si a\mid b y a\mid b \pm\ c, entonces a\mid c
  6. Si a\mid b y b\mid a, entonces \ |a|=|b|.
  7. Si a\mid b y b\neq 0, entonces \frac{b}{a}\mid b.
  8. Para c\neq 0, a\mid b si y sólo si ac\mid bc
  9. Si a\mid bc y \ mcd(a,b)=1, entonces a\mid c.
  10. Si \ mcd(a,b)=1 y \ c cumple que a\mid c y b\mid c, entonces ab\mid c.

Como 0=0\cdot n y n=n\cdot 1 se tiene que n\mid 0 y 1\mid n para todo \ n entero. Si \ m no es divisible por \ n escribimos n\nmid m. Notemos que 0\nmid m para todo \ m distinto de cero, pues m\neq 0=k\cdot 0 para todo \ k entero. .

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Véase también

Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cero o cifra par. 378: porque "8" es par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.
7 Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. 469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7. 52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: La última cifra es 0.
11 Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.

Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.

42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11


44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11

12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.
13 Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es. 364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es. 432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
Obtenido de "Divisibilidad#Criterios de divisibilidad"

Wikimedia foundation. 2010.

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