Swap (finanzas)

Un swap, o permuta financiera, es un contrato por el cual dos partes se comprometen a intercambiar una serie de cantidades de dinero en fechas futuras. Normalmente los intercambios de dinero futuros están referenciados a tipos de interés, llamándose IRS (Interest Rate Swap) aunque de forma más genérica se puede considerar un swap cualquier intercambio futuro de bienes o servicios (entre ellos el dinero) referenciado a cualquier variable observable. Los swaps se introdujeron por primera vez al público en 1981, cuando IBM y el Banco Mundial entraron en un acuerdo de intercambio. Un swap se considera un instrumento derivado.

Contenido 1 Conceptos 1.1 Partes de un swap 1.2 Representación gráfica de un swap 1.3 Valor de un swap 1.3.1 ¿Cómo valorar un swap? 1.4 Utilidad de un swap 2 Swaps de tipo de Interés 2.1 Swaps de tipos de interés de tipo variable vs tipo fijo 2.1.1 Valoración de un swap a tipo fijo/variable. Descomposición 2.1.1.1 Valoración de los compromisos a tipo Fijo 2.1.1.2 Convención para el Factor de descuento 2.1.1.3 Valoración de los compromisos a tipo Variable 2.1.2 Valoración de un swap a tipo fijo/variable. Valor total del swap 2.1.3 Relaciones que podemos establecer a partir del NPV de un swap 2.1.4 Ejemplo de valoración de un swap en el tiempo. Resultados, valoración y liquidaciones del swap 2.2 Negociación de un swap 2.3 Concepto de cotización o «Pricing» y cobertura o «Hedge» de un swap 2.4 Otras consideraciones sobre un swap 2.5 Otros swaps de tipo de interés 2.5.1 Swap Fijo vs Fijo o Variable vs Variable 2.5.2 Asset Swap 2.5.3 Call Money Swap 2.5.4 Constant Maturity Swap 2.6 Swaps de tipo de interés en diferentes divisas 3 Ejemplos de otros tipos de swaps 3.1 Swap de divisas 3.2 Equity Swap 3.3 Total Return Swap 4 Bibliografía

Conceptos

Partes de un swap

Dado que es un compromiso de intercambio de dinero a futuro, un swap tiene dos partes para cada uno de los contratantes: el compromiso de cobro de dinero a futuro y el compromiso de pago de dinero a futuro. Cada una de estas dos partes se les suele llamar "pata" proveniente del termino inglés "leg" (pata o pierna).

Representación gráfica de un swap

Para una de las partes un swap gráficamente se puede representar como:

Donde se producen para una de las contrapartidas una serie de flujos de cobros y una serie de flujos de pagos desde el momento inicial del contrato (t=0) hasta su vencimiento (t=v). Lógicamente, lo que para una de las partes son derechos de cobros son compromisos de pagos para la otra y viceversa.

Valor de un swap

Como cualquier contrato o compromiso de flujos de dinero un swap debe tener un valor económico. El valor económico del swap, si es determinable, reflejará en cualquier momento del tiempo la cantidad a pagar o recibir para entrar o salir del contrato en función de en que lado del compromiso estamos nosotros.

¿Cómo valorar un swap?

Dado que un swap se corresponde de unos compromisos de flujos futuros de cobro y de pago, para hallar su valor debemos valorar esos compromisos futuros. Usaremos la técnica del arbitraje para valorar los compromisos futuros. El arbitraje consiste en replicar los flujos del swap mediante instrumentos simples de forma que la agregación de la valoración de los instrumentos simples será el valor económico del compromiso en su conjunto. El valor económico (VE), pues, lo podemos expresar como:

Esta expresión recoge la suma del valor en el momento inicial de los compromisos futuros que incorpora el swap. Un valor de F_t positivo supone un compromiso de cobro y un valor negativo supone un compromiso de pago. El valor VE puede ser positivo, negativo o cero. Si es positivo supone que "a fecha de hoy" la valoración de los compromisos futuros de cobro es mayor que los compromisos futuros de pago. Es importante entender el concepto de valor a fecha de hoy. Aunque el valor a fecha de hoy de los cobros sea mayor que el valor de los pagos no significa que cuando pase el tiempo cobraremos más que lo que pagaremos, llegando a ser posible la situación inversa. Este concepto se entenderá mejor con el ejemplo. El valor a fecha de hoy también es conocido como Valor Actual(VA) o NPV (abreviación del inglés "Net Present Value"). En adelante llamaremos indistintamente VA=VE=NPV.

Partiendo de la base de que el valor actual del los flujos del Swap en el momento de la compra debe ser cero, de manera que la transacción sea justa para ambas partes se presentan dos situaciones:

• Cuando el NPV es positivo, deberemos pagar a nuestra contraparte el NPV para entrar en el contrato de swap
• Si el NPV es negativo, nuestra contrapartida, nos pagara el NPV

En función de la variable a la que se referencien los cobros y pagos futuros la función φ será diferente. Esto significa que los instrumentos simples que utilizaremos para calcular el valor económico por arbitraje (NPV) serán diferentes en función de cada variable a la que se referencien los flujos.

Utilidad de un swap

Básicamente podemos hablar de dos utilidades o motivos por los que tendremos interés en entrar en un swap:

a) Cambiar nuestros bienes o recursos futuros: Puede interesarnos para nuestro negocio intercambiar durante un tiempo bienes o recursos que generaremos por otros bienes o recursos necesarios para nuestra actividad o bienestar.

b) Especulación: Al igual que la especulación en otros activos, entraremos en un swap si nuestra visión es que los bienes que recibiremos a futuro van a suponer para nosotros mayor valor que los bienes que entregaremos a futuro.

Swaps de tipo de Interés

Hemos comentado que un swap puede referenciarse a cualquier tipo de variable observable. Así los compromisos de cobro y pago de las dos patas del swap pueden referenciarse a diferentes variables (por ejemplo, tipos de interés, precio del petróleo, precio de la vivienda, cotización de una acción, intercambio de naranjas, etc). Los swaps más simples y conocidos en los mercados financieros son los swaps de tipo de interés. En estos swaps cada pata está referenciada a diferentes índices de tipo de interés.

Swaps de tipos de interés de tipo variable vs tipo fijo

Los swaps fijo/variable se pueden definir como el compromiso por el que una parte paga/recibe un tipo fijo sobre un nocional prefijado N₁ y recibe/paga un tipo variable sobre un nocional prefijado N₂. Normalmente N₁ = N₂ = N. El Nocional es la cantidad sobre la que se aplicará el tipo de interés (el nocional también se suele llamar Nominal). Un ejemplo en detalle de como se definiría un contrato de swap fijo variable seria como sigue:

Fecha de inicio: 20 de julio del 2008

Fecha de finalización: 20 de julio del 2011

Contraparte que paga fijo recibe variable: A

Contraparte que recibe fijo paga variable: B

Nocional(N₁ = N₂ = N): 100.000 euros

Tipo Fijo: 4%

Periodicidad de pago del tipo fijo: Semestral (base 30/360). Primer pago el 20 de enero del 2009 y último pago el 20 de julio del 2011

Tipo Variable: Euribor 6 meses

Periodicidad de fijación del tipo variable: semestral con primera fijación en fecha 20 de julio del 2008 y última fijación el 20 de enero del 2011.

Periodicidad de pago del tipo variable: semestral (base 30/360) pagos por periodos vencidos. Fecha del primer pago 20 de enero del 2009 y último pago 20 de julio del 2011.

Esto significa que la parte A pagara cada 20 de julio y 20 de enero de 2000 euros a la parte B y que recibirá de la parte B cada 20 de julio y 20 de Enero el tipo euribor 6 meses que había 6 meses antes sobre el nocional y dividido por dos ya que el plazo es semestral (el 20 de enero se paga el tipo a 6 meses que se fijó el 20 de julio anterior ya que se paga el tipo de interés por vencido).

Valoración de un swap a tipo fijo/variable. Descomposición

Para valorar un swap a tipo fijo/variable descompondremos el swap en sus distintos flujos. Estos son los compromisos de pago/cobro de flujos a tipo fijo y los compromisos cobro/pago a tipo variable.

Valoración de los compromisos a tipo Fijo

Vamos a empezar con la valoración de un compromiso a tipo fijo. Si nos fijamos en el ejemplo cada uno de los compromisos a tipo fijo suponen el pago de una cantidad cierta de dinero. Descompondremos la cadena de pagos fijos y obtendremos el valor económico de cada uno de ellos. De esta forma, cuando sepamos valorar un único compromiso "simple", seremos capaces de valorar su conjunto.

¿Cual es el valor económico del primer pago de 2.000 euros que hay que realizar el 20 de enero de 2009?

Para realizar la valoración usaremos el arbitraje. Esto supone que el valor del compromiso ha de ser tal que suponga que no podemos ganar o perder dinero comprando o vendiendo el compromiso y simultáneamente realizar una operación financiera que nos permita ganar un beneficio sin riesgo. Vamos a poner un ejemplo. Supongamos que estamos en fecha 20 de julio del 2008 y queremos saber el NPV del compromiso de pago de 2.000 euros el 20 de enero de 2009. Si tenemos que pagar 2.000 el 20 de enero del 2009 la cantidad que necesitamos tener hoy para poder hacer frente a ese pago, suponiendo que el tipo de interés a 6 meses es el 3,5%, es:

¿Porque 1965,6? Si invertimos esta cantidad durante 6 meses, a un interés del 3,5% anual, los intereses que obtendríamos al cabo de los 6 meses son 34,4 euros, que sumados a los 1965,6 hacen un total de 2.000 euros que es exactamente nuestro compromiso. Por tanto el valor económico de un pago de 2.000 euros el 20 de enero de 2009 a fecha 20 de julio del 2.008 es de 1965,6. Esta es la cantidad que deberemos aceptar para entrar en el compromiso de pago de los 2.000 euros para que no suponga ninguna perdida ni beneficio para nosotros.

El arbitraje supone que cualquier otro valor del compromiso permite hacer un beneficio sin riesgo.

Imaginemos que por entrar en el compromiso de pagar los 2.000 euros alguien nos paga 1980 euros. Inmediatamente podemos ver que para atender nuestro compromiso solo necesitamos 1965,6 euros con lo que realizamos un beneficio directo de 14,4. En este caso siempre será interesante entrar en el compromiso.

Si alguien estuviera dispuesto a pagar 1950 euros para recibir 2000 euros 6 meses después, si los tipos de interés fueran el 3,5%, no nos interesara entrar en el compromiso de pago sino al revés. Si alguien está dispuesto a recibir 1950 euros para pagar 2.000 euros 6 meses después, lo que nosotros haremos es la operación contraria, si podemos, y pagar los 1950 euros. El único problema es que debemos pagar 1950 euros hoy para recibir 2.000 euros en 6 meses pero hoy no tenemos los 1950 euros. Muy fácil. Pedimos un préstamo de 1950 euros a 6 meses al 3,5%. Al cabo de 6 meses deberemos devolver el préstamo pagando los intereses (33,5), lo que supone que devolvemos de nuestro préstamo un total de 1983,5. ¿Cómo devolvemos el préstamo? con los 2.000 euros que nos paga nuestra contrapartida. Esto supone que obtenemos un beneficio en fecha 20 de enero del 2009 de 16,5 euros.

Por tanto esto supone que, por arbitraje, el valor económico del compromiso solo pueden ser los 1965,6, ya que cualquier otro valor supone que se puede arbitrar y obtener un beneficio sin riesgo.

Para poder avanzar más adelante vamos a empezar a poner estos conceptos en forma matemática y empezaremos a dar forma a nuestra función φ.

Llamaremos factor de descuento a la función FD_t que relaciona por arbitraje el valor económico de un compromiso futuro de pago fijo. En nuestro caso FD_{20 / 1 / 2009} = 0,982800983 y por tanto se cumple la relación:

Con lo que determinamos la forma de la función φ para obtener el valor económico hoy de un único pago cierto a una fecha futura. Para la agregación de todos los flujos futuros a tipo fijo la expresión genérica será:

Que en nuestro ejemplo concreto quedaría como:

Podemos ampliar la fórmula desarrollando el término F_t, que es el flujo en el momento t, incorporando todas las variables que describen el swap obteniendo una formula genérica:

Donde N es el nominal sobre el que se aplica el tipo fijo (C) y p=1,2,...,12 para indicar la el número de pagos que se realizan durante un año(p=1 anual, p=2, semestral, p=4 trimestral, etc). En nuestro ejemplo N=100.000, C=4% y p=2.

Ahora ya hemos hallado el valor económico de la pata fija del swap. Nos queda hallar el valor económico de la pata flotante para encontrar el valor de todo el swap en su conjunto. (Para más información véase también VAN)

Convención para el Factor de descuento

Hemos de parar aquí un momento para tomar una convención que luego simplificará mucho la carga matemática. Los factores de descuento se calcularán con los tipos de interés de la curva cupón cero y con tipo compuesto anual en lugar de tipo de interés simple. (para más detalles ver factor de descuento ). Esta convención supone que la función FD_t coge la siguiente forma:

FD_t = (1 + i_t) ^{− t}

Donde i_t es el tipo de interés cupón cero que hay en el mercado financiero para un periodo que va desde hoy hasta el momento t (expresado en años).

En nuestro ejemplo, el tipo cupón cero equivalente al 3,5% a 6 meses (llamado también tipo nominal) será el que satisface la ecuación FD_t = 0,982800983 = (1 + i_t) ^{− 0.5}. Siendo i_t = 3.5%

Valoración de los compromisos a tipo Variable

Bien, aquí nos aparece un problema. Si hoy es el 20 de julio del 2008, el compromiso a tipo variable del primer periodo, el que en nuestro ejemplo tenemos que pagar en fecha 20 de enero del 2009, es conocido, ya que es el tipo euribor a 6 meses en fecha de hoy. Pero, ¿cómo valoramos el compromiso de pagar el euríbor a 6 meses que habrá el 20 de enero del 2009, pagadero el 20 de julio del 2009, si desconocemos ahora cuál será? Tampoco sabemos cuáles serán los sucesivos tipos euribor a 6 meses que se fijarán durante la vida del contrato. ¿cómo nos lo hacemos entonces para encontrar el valor económico (NPV) de los compromisos de la pata variable? De nuevo un análisis por arbitraje nos permitirá hallar la solución y encontrar la fórmula que necesitamos.

Supongamos que el compromiso de la pata variable es de pago del mismo. Así, en nuestro ejemplo, si somos la contrapartida B deberemos hacer las operaciones financieras necesarias para poder pagar el euribor 6 meses de cada periodo, pero que ahora desconocemos cual es el tipo que se fijará. La única forma de conseguir que podremos pagar el tipo flotante sobre el nocional durante toda la vida del contrato es teniendo en nuestras manos una cantidad igual al nocional e invirtiéndola cada 6 meses al tipo euribor 6 meses. Los intereses que recibiremos de nuestro capital invertido son los que nos permitirán pagar el compromiso a tipo flotante de nuestro contrato de swap. Pero, de nuevo, nos aparece otro problema: no tenemos en nuestras manos el capital. Por tanto deberemos pedir a préstamo este capital a fecha de hoy y lo devolveremos a la fecha de vencimiento del mismo. Es decir la capacidad de poder pagar los diferentes euribores futuros tiene un coste económico (VE=VA=NPV) igual al coste de pedir prestado el nocional durante la vida del contrato. No importa cuales vayan a ser los tipos euribor 6 meses futuros que hoy seremos capaces de pagarlos si hemos pedido a préstamo el nocional del contrato de swap y lo devolvemos a la fecha de vencimiento.

Entonces el valor económico del compromiso de la pata flotante vendrá dado por el valor hoy de los intereses que hemos de pagar al vencimiento del contrato del nocional pedido a préstamo.

Necesitamos ahora un poco de matemáticas para poner estos conceptos en orden. Si pedimos hoy un préstamo de capital N y lo hemos de devolver en el momento v, el capital a devolver N_ves:

N_v = N.(1 + i_v)^v

y, por tanto los intereses I que debemos pagar a la fecha de vencimiento son:

I = N_v − N

Estos intereses son el valor económico a la fecha de vencimiento que tiene el compromiso de poder pagar los euríbores futuros. Para hallar el valor económico hoy solo debemos aplicar la fórmula que hemos usado para hallar el valor actual de un compromiso único a tipo fijo, es decir, le aplicaremos el factor de descuento a los intereses I. Un poco de algebra nos lleva a encontrar el valor económico del compromiso flotante (NPV):

Aunque parecía complejo acabamos de obtener el valor económico de los compromisos de la pata flotante del swap.

El arbitraje nos garantiza nuevamente que el valor debe ser ya que como hemos mostrado en las secciones anteriores cualquier otro valor haría posible un beneficio sin riesgo.

Valoración de un swap a tipo fijo/variable. Valor total del swap

El Valor económico de un swap en su totalidad vendrá dado entonces por la agregación de valores de los compromisos de las dos patas. Entonces si suponemos que somos la contraparte A de nuestro ejemplo, que paga fijo y recibe variable, el NPV del swap será el NPV de la pata de cobro (en este caso variable) menos el NPV de la pata de pago (en este caso fijo). Por tanto:

o, reordenando;

Igual que comentábamos para un compromiso único de tipo fijo el NPV puede ser positivo, negativo o cero. La operación es justa para ambas partes si el NPV=0 y si tiene un valor positivo para nosotros deberemos pagar a la contrapartida dicho importe para que sea aceptable para ella entrar en el contrato de swap. En caso que el NPV sea negativo nuestra contrapartida nos deberá compensar.

Relaciones que podemos establecer a partir del NPV de un swap

La fórmula que hemos obtenido determina que los valores de los parámetros de un swap (el NPV, C, p, etc) han de mantener la relación formulada. Algebraicamente podemos despejar cualquiera de las variables de la ecuación para hallar su valor, que debe ser único, para evitar una condición de arbitraje.

La relación más común en los mercados financieros es la que refleja el valor del tipo fijo que hay que establecer para que el NPV del swap sea igual a cero en el momento de su contratación.

Esta relación la podemos formular como:

Esta es la forma como se cotiza un swap fijo variable en los mercados financieros: en función del tipo fijo al vencimiento del contrato siendo estándares el resto de parámetros (por ejemplo, la periodicidad del cupón fijo, el índice variable, etc). La parte estandard de un swap en los mercados financieros actualmente es:

• Índice variable: Euribor 6 meses, liquidación semestral. Base ACT/360
• Índice Fijo: Según el momento de mercado, liquidación anual. Base 30/360
• Condiciones legales: ISDA o CMOF

Los demás swaps expuestos en este artículo necesitan otra formulación matemática para calcular su NPV.

Ejemplo de valoración de un swap en el tiempo. Resultados, valoración y liquidaciones del swap

En la tabla siguiente se reflejan los valores de la operación de swap del ejemplo en el tiempo, suponiendo una evolución de los tipos de interés según se indica en la misma. Suponemos que somos la contrapartida que paga el tipo fijo. Es interesante observar los siguientes puntos:

• El tipo de mercado en el momento de contratar el swap es el 3.96% mientras que nosotros aceptamos entrar en un swap pagando un 4% que es mayor, por lo que la contrapartida nos ha de compensar por ello y nos paga una prima inicial de 110 euros, el NPV, para que sea neutro para nosotros entrar en la operación

• Hay momentos en la vida de la operación en que tenemos beneficio ya que, por ejemplo, a fecha 20/1/2010 hemos pagado 140 euros por las liquidaciones hasta la fecha, pero el NPV del swap es de 1.132 euros. Esto supone que si cancelamos la operación en esa fecha, nos pagarían los 1.132 euros y, por tanto, habríamos realizado un beneficio de 992 euros por la operación. El NPV es positivo porque en aquel momento los tipos de interés son superiores al 4% que hemos de pagar.

• Al final de la operación, aunque ha habido momentos en que teníamos un beneficio, la misma nos ha resultado perdedora ya que hemos acabado pagando 515 euros en total.

Negociación de un swap

Los swaps se negocian OTC entre dos contrapartidas. Los contratos de swap realizados entre entidades financieras están estandarizados bajo contratos marcos ISDA. Existe para entidades españolas una versión estandarizada sujeta a la legislación española, es el contrato CMOF, redactado en castellano.

Concepto de cotización o «Pricing» y cobertura o «Hedge» de un swap

Por cotización de un swap entenderemos el acto de calcular y ofrecer un precio para contratar un swap. En los mercados financieros las contrapartidas que se dedican permanentemente a cotizar swaps se llaman creadores de mercado o "market makers".

En un swap, el concepto de cobertura se le suele aplicar desde dos ámbitos:

• Pensando en que el swap es un instrumento de cobertura de otros instrumentos financieros.
• Pensando en como cubrir el riesgo de tipo de interés que nos provoca entrar en un swap. Este riesgo se suele cubrir con otros instrumentos financieros (futuros, depósitos, etc) o con otros swaps.

Otras consideraciones sobre un swap

• Los swaps están sujetos a riesgo de crédito. El riesgo de crédito existe por la posibilidad de que nuestra contrapartida no pague sus compromisos. En este caso, el riesgo de crédito no es del nominal, sino del NPV del swap en cada momento que queremos medir el mismo. Existen mecanismos, como las garantías en forma de colateral, para mitigar el riesgo de crédito.

• Los swaps están sujetos al riesgo de liquidez. En determinadas situaciones de mercado podría ser que no hubiera contrapartes dispuestas a entrar en la operación de swap que queremos lo que implica que tenemos un riesgo de liquidez. En este caso podría ser posible no encontrar a nadie para poder realizar la operación de cobertura o especulación que deseamos. Si la liquidez del mercado desaparece entonces los modelos de valoración fallan. Es muy importante tenerlo en cuenta para su cobertura o «hedge» y cotización.

Otros swaps de tipo de interés

En general cualquier combinación de compromisos de cobro/pago de flujos de tipo de interés constituye un swap. Las combinaciones son pues muy numerosas (por ejemplo tipos fijos crecientes en el tiempo, nominales variables en el tiempo, etc). A continuación se expone una relación de los más usuales en los mercados financieros.

Swap Fijo vs Fijo o Variable vs Variable

Los pagos y cobros están referenciados a índices fijos o variables en las dos patas. Los índices deben ser para diferentes periodicidades en cada pata para que tenga algún interés el swap.

Asset Swap

Los pagos/cobros de una pata replican los cobros/pagos de un activo mientras que la otra pata se paga a un tipo de interés variable. Sirve para convertir los flujos de un activo que tengamos (por ejemplo un bono que paga un tipo fijo) a otros que nos convienen más.

Call Money Swap

Tipo especial de swap muy utilizado en el mercado interbancario. Suelen tener vencimientos desde un mes a un año. Una de las patas es a tipo fijo mientras que la otra esta indexada a un tipo variable diario (normalmente el tipo Eonia). Se suele realizar una sola liquidación a vencimiento.

Constant Maturity Swap

Tipo especial de swap en el que una de las patas está referenciado a un tipo variable a corto plazo Euribor (inferior a 12 meses) y la otra está referenciada a un tipo superior a 12 meses (por ejemplo, el tipo swap a 10 años). Se suele cotizar en % del tipo referenciado al índice superior a 12 meses.

Swaps de tipo de interés en diferentes divisas

Un caso especial de todos los swaps de tipo de interés es el caso en el que una de las patas está referenciada a una divisa y el otro a otra divisa. Por ejemplo la pata fija podría estar expresada en tipos de interés en dólares y la otra en euros. (No debe confundirse con la operación de swap de divisas) Las fórmulas expresadas para el swap simple fijo vs variable son diferentes en este caso para incorporar este hecho.

Ejemplos de otros tipos de swaps

Swap de divisas

Suelen confundirse con los swaps de tipos de interés donde cada pata está referenciada a una divisa diferente. La confusión puede provenir por la utilización del termino «swap» inglés que significa intercambio.

Un swap de divisas es una operación que incluye una compraventa de divisas a fecha de hoy y una operación de sentido contrario a fecha futura a un precio prefijado hoy. Por ejemplo, compra de dólares contra euros hoy a un precio de 1.40 y venta de euros contra dólares dentro de un mes a un precio de 1.3970.

Equity Swap

En un Equity swap una de las patas está referenciada a tipo de interés y la otra referenciada a renta variable (acciones o w:en:Equity«Equity»). La referencia a la renta variable puede ser de muchos tipos (variación sobre un índice, sobre un portafolio de acciones, rentabilidad en un periodo, etc)

Total Return Swap

En este tipo de swap se intercambia un tipo de interés flotante por todos los flujos de un activo financiero por variados y complejos que sean. Usualmente si el vencimiento de este swap es inferior al del activo financiero suele haber un intercambio, entre las partes, del activo al inicio y vencimiento del contrato de swap a un precio prefijado.

Bibliografía

• HULL, JOHN (1989). OPTIONS, FUTURES AND OTHER DERIVATIVE SECURITIES. New Jersey: Prentice Hall. 0-13-638339-4. 

• FABOZZI, FRANK J. (1991). THE HANDBOOK OF FIXED INCOME SECURITIES. Bussines One Irwin. 1-55623-308-6.