Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo L^p, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio L^p, estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Sergéi Sóbolev.

Contenido 1 Espacios Wm,p(Ω) 2 Espacios Hm(Ω) 3 Referencia 3.1 Bibliografía

Espacios W^m,p(Ω)

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones puede verse como un subespacio de un espacio L^p. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio del espacio L^p formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a L^p. Dado un dominio el espacio de Sobolev se define como:

Donde es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma de L^p:

Algunas propiedades interesantes son:

• Los espacios de Sóbolev son reflexivos para
• El espacio de Sóbolev
• si k" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/eswiki/50/264957fecd117ac8b45554b88da123a2.png">
• 
• es denso en

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

Espacios H^m(Ω)

Algunos espacios de Sóbolev, con pueden ser dotados de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L²:

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L²:

Analagamente al caso de los espacios se define el espacio:

Referencia

Bibliografía

• R. A. Adams (1975): Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
• R. Dautray & J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol II, Functional and Variational Methods, Springer-Verlag, Nwe York, 1988.
• S.L. Sobolev, "On a theorem of functional analysis" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 34 (1963) pp. 39–68 Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497
• S.L. Sobolev, "Some applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1985.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. IIA: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1990.
• E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. III: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1986.