Espacio de Sóbolev

Espacio de Sóbolev

Espacio de Sóbolev

Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo Lp, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio Lp, estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Sergéi Sóbolev.

Contenido

Espacios Wm,p(Ω)

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones puede verse como un subespacio de un espacio Lp. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio del espacio Lp formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a Lp. Dado un dominio \scriptstyle \Omega\subset\R^n el espacio de Sobolev \scriptstyle W^{m,p}(\Omega)\, se define como:

W^{m,p}(\Omega)=\{f\in L^p(\Omega) |\ D^\alpha f\in L^p(\Omega),\ \forall \alpha\in\mathbb{N}^n: |\alpha| \le m\ \} \subset L^p(\Omega)

Donde D^\alpha f\, es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma \|\cdot\|_{L^p(\Omega)} de Lp:

\|f\|_{m,p,\Omega} = \left[ \sum_{|\alpha|\le m} \|D^\alpha f\|^p_{L^p(\Omega)} \right]^{1/p}, \qquad 1 \le p < \infty

\|f\|_{m,\infty,\Omega} = \max_{|\alpha|\le m} \|D^\alpha f\|_{L^\infty(\Omega)}

Algunas propiedades interesantes son:

  • Los espacios de Sóbolev son reflexivos para \scriptstyle 1 < p < \infty
  • El espacio de Sóbolev \textstyle W^{0,p}(\Omega) = L^p(\Omega)
  • \textstyle W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega) si \textstyle m>k
  • \textstyle C^m(\bar\Omega) \hookrightarrow W^{m,p}(\Omega)
  • \textstyle C^\infty(\bar\Omega) \cap W^{m,p}(\Omega) es denso en \textstyle W^{m,p}(\Omega)

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

W^{m,p}_0(\Omega) = \overline{W^{m,p}(\Omega) \cap C^\infty_0(\Omega)}

Espacios Hm(Ω)

Algunos espacios de Sóbolev, con p = 2\, pueden ser dotados de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L2:

H^m(\Omega) \equiv W^{m,2}(\Omega)

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L2:

(f,g)_{H^m(\Omega)} = \sum_{|\alpha| \le m} (D^\alpha f, D^\alpha g)_{L^2(\Omega)}

Analagamente al caso de los espacios W^{m,p}_0(\Omega) se define el espacio:

H^m_0(\Omega) = \overline{H^m(\Omega) \cap C^\infty_0(\Omega)}

Referencia

Bibliografía

  • R. A. Adams (1975): Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.
  • R. Dautray & J.L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol II, Functional and Variational Methods, Springer-Verlag, Nwe York, 1988.
  • S.L. Sobolev, "On a theorem of functional analysis" Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 34 (1963) pp. 39–68 Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497
  • S.L. Sobolev, "Some applications of functional analysis in mathematical physics" , Amer. Math. Soc. (1963)
  • E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1985.
  • E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. IIA: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1990.
  • E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications. III: Fixed-point Theorems, Springer-Verlag, New York, 1986.
Obtenido de "Espacio de S%C3%B3bolev"

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