Conjunto denso

Conjunto denso

Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico, A \subset X se dice que es un conjunto denso en X\; si y solamente si \bar A = X \;, es decir, la clausura del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para A son todas equivalentes:

  1. A es denso en X
  2. A \subset B, B cerrado \Rightarrow B=X
  3. \forall V \in \mathcal{T}, A\cap V = \varnothing \Rightarrow V=\varnothing

Ejemplos

  • Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
  • \mathbb{Q} e \mathbb{I} son subconjuntos densos de \mathbb{R}.
  • Los polinomios son densos en el conjunto C[a,b] de las funciones continuas definidas en [a,b], dotado de la topología asociada a la distancia d_\infty (f,g) = \max _{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|.

Espacio separable

Si (X,\mathcal{T}) contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son \mathbb{R}^n y C([0,1],\mathbb{R}) (el espacio de las funciones continuas que van de [0,1] a \mathbb{R}).

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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