Espacio proyectivo complejo

Espacio proyectivo complejo

Espacio proyectivo complejo

En matemáticas, llamamos espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cn+1 que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cn+1), Pn(C) o CPn

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cn+1-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:

z \sim w \Leftrightarrow z=\lambda w \qquad \lambda \in \mathbb{C}-\{0\} \qquad z,w \in \mathbb{C}^{n+1}-\{0\}

Contenido

Topología

Sea \pi:\mathbb{C}^{n+1}-\{0\} \rightarrow \mathbb{C}P^n la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPn de la topología cociente, de modo que U \subset \mathbb{C}P^nes abierto si y sólo si π − 1(U) lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

CPn es compacto y conexo

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S2n+1. En concreto por la composición de aplicaciones \pi \circ i dada por

S^{2n+1} \longrightarrow \mathbb{C}^{n+1}-\{0\} \longrightarrow \mathbb{C}P^n,

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S2n+1.

Estructura compleja

Podemos construir un atlas mediante las cartas (Ui,Φi) definidas por:

U_i=\{[z]:z \in \mathbb{C}^{n+1}-\{0\}, z_i \neq 0\} \qquad \Phi_i([z])=(\frac {z_0}{z_i},\cdots,\hat\frac {z_i}{z_i},\cdots,\frac {z_n}{z_i})

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si z \in U_i \cap U_j , se comprueba que el cambio de cartas (\Phi_j \circ \Phi_i^{-1}) es holomorfo.

Subespacios lineales de CPn

Toda inclusión del tipo Ck+1 → Cn+1 induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CPk → CPn. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPn.

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPn. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.

Referencias

  • P. Griffiths y J. Harris. Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons, 1978. ISBN 0-471-32792-1 . (Cap. 2)

Véase también

Obtenido de "Espacio proyectivo complejo"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Variedad de Kähler — En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad con estructura unitaria a (condición de integración. En particular, es una variedad compleja, una variedad de Riemann, y una variedad simpléctica, con estas tres estructuras compatibles entre …   Wikipedia Español

  • Número de Betti — En topología algebraica, los números de Betti distinguen los espacios topológicos. Intuitivamente, el primer número de Betti de un espacio, cuenta el número máximo de cortes que se pueden hacer sin dividir al espacio en dos piezas. Cada número de …   Wikipedia Español

  • Cuádrica — Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas . Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas… …   Wikipedia Español

  • Axiomas de Wightman — Saltar a navegación, búsqueda Los axiomas de Wightman constituyen uno de los enfoques existentes para construir una teoría cuántica de campos rigurosa, que combine los requerimientos relativistas y los principios cuánticos. Contenido 1 W0… …   Wikipedia Español

  • Forma modular — En matemáticas, una forma modular es una función analítica compleja en el semiplano superior que satisface un cierto tipo de ecuación funcional y condición de crecimiento. Por lo tanto la teoría de las formas modulares pertenece al análisis… …   Wikipedia Español

  • Topología geométrica — La topología geométrica (topología de dimensiones bajas) es el área de la topología y la topología algebraica que estudia problemas geométricos, topológicos y algebraicos que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5,… …   Wikipedia Español

  • Historia de la geometría — La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto,… …   Wikipedia Español

  • Sistema de ecuaciones — En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En un sistema de ecuaciones… …   Wikipedia Español

  • Superficie de Riemann — que aparece al extender el dominio de la función El desarrollo de la idea de superficie de Riemann comenzó a mediados del siglo XIX de la mano del matemático Bernhard Riemann, con los intentos de extender el dominio de definición de funciones… …   Wikipedia Español

  • Variedad (matemática) — En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”