Cuádrica

Cuádrica

Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: P(x_1,x_2 ... x_n) = 0 \

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas x_1, x_2 ... x_n \ .

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.

Hiperboloide de una hoja.

Contenido

Historia

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cuádricas en el plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

Definición algebraica

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son \{x_1, x_2, ... x_D\}\,, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:

\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.

Ecuación cartesiana

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \,
  • La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

x^2 + y^2 + z^2 +2xy + 2yz + 2xz = 0 \

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

(x+y+z)^2 = 0 \

que equivale a:

x + y + z = 0 \ ,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

Ecuación normalizada

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \pm 1 = 0

Tipos de cuádricas

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:

elipsoide {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} - 1 = 0 \, Quadric Ellipsoid.jpg
    → esferoide (caso particular de elipsoide)   {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} - 1 = 0 \,
        → esfera (caso particular de esferoide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} - 1 = 0 \,
paraboloide
    → paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide) {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
    → paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
        → paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0 \,
hiperboloide
    → hiperboloide de una hoja (caso particular de hiperboloide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} - 1 = 0 \, Quadric Hyperboloid 1.jpg
    → hiperboloide de dos hojas (caso particular de hiperboloide) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} + 1 = 0 \, Quadric Hyperboloid 2.jpg
cilindro
    → cilindro elíptico (caso particular de cilindro) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - 1 = 0 \, Quadric Elliptic Cylinder.jpg
        → cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - 1 = 0 \,
    → cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro) {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - 1 = 0 \, Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
    → cilindro parabólico (caso particular de cilindro) x^2 + 2ay = 0 \, Quadric Parabolic Cylinder.jpg
cono elíptico {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \, Quadric Cone.jpg
    → cono circular (caso particular de cono elíptico)


En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.

Véase también

  • Cónica

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Cuádrica — cuádrica. f. Mat. Lugar geométrico de los puntos del espacio cuyas coordenadas cartesianas satisfacen una ecuación de segundo grado; p. ej., una elipse. * * * En matemáticas, una cuádrica o superficie cuádrica es una (hiper )superficie D… …   Enciclopedia Universal

  • cuadrică — CUÁDRICĂ s.f. v. cvadrică. Trimis de LauraGellner, 13.09.2007. Sursa: DN …   Dicționar Român

  • cuádrica — f. Mat. Lugar geométrico de los puntos del espacio cuyas coordenadas cartesianas satisfacen una ecuación de segundo grado; p. ej., una elipse …   Diccionario de la lengua española

  • Cilindro — (Del lat. cylindrus < gr. kylindros < kylio, rodar.) ► sustantivo masculino 1 GEOMETRÍA Sólido limitado por una superficie curva y cerrada, que tiene el mismo grosor en toda su longitud, y por dos planos que la cortan y constituyen sus… …   Enciclopedia Universal

  • Elipsoide — Saltar a navegación, búsqueda Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, las originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga …   Wikipedia Español

  • Hiperboloide — ► adjetivo 1 GEOMETRÍA Que se parece a una hipérbola: ■ un espejo hiperboloide. ► sustantivo masculino 2 GEOMETRÍA Figura geométrica cuyas secciones planas son elipses, círculos o hipérbolas y se extienden indefinidamente en dos sentidos opuestos …   Enciclopedia Universal

  • Paraboloide — (De parábola + gr. eidos, aspecto exterior.) ► sustantivo masculino 1 GEOMETRÍA Superficie que puede dar una sección parabólica en cualquiera de sus puntos. 2 GEOMETRÍA Cuerpo limitado por una superficie elíptica y un plano perpendicular a su eje …   Enciclopedia Universal

  • Sección cónica — Los cuatro ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1), elipse (2), circunferencia (3) e hiperbola. Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no… …   Wikipedia Español

  • Determinante (matemática) — En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo …   Wikipedia Español

  • Hiperboloide — El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Estas superficies son de dos clases: de una y de dos hojas. Para entenderlo mejor, se considera a continuación… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”