Variedad de Kähler

Variedad de Kähler

En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad con estructura unitaria a (condición de integración. En particular, es una variedad compleja, una variedad de Riemann, y una variedad simpléctica, con estas tres estructuras compatibles entre sí.

Esta estructura triple corresponde a la presentación del grupo unitario como una intersección:

U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n)

Sin ninguna condición de integración, la noción análoga es una variedad hermítica parcial. Si la estructura-Sp es integrable (sin que la estructura compleja lo sea), la noción es una variedad de Kähler parcial; si la estructura compleja es integrable (sin que la estructura-Sp lo sea), la noción es una variedad hermítica.

Las variedades de Kähler (en inglés "Kähler manifolds") fueron llamadas así en honor al matemático Erich Kähler y son importantes en la geometría algebraica: ellas son una generalización de la geometría diferencial de variedades algebraicas complejas.

Contenido

Definición

Las variedades de Kähler pueden ser caracterizados en muchas maneras: ellas son usualmente definidas como una variedad compleja con una estructura adicional (o una variedad simpléctica con una estructura adicional, o una variedad de Riemann con una estructura adicional).

Uno puede resumir la conexión entre las tres estructuras vía h = g + iω, donde h es la forma hermítica, g es la métrica de Riemann, i es la estructura compleja parcial, y ω la estructura simpléctica parcial.

La métrica de Kähler en una variedad compleja M es una métrica hermítica en el fibrado tangente complexificado TM \otimes \C que satisface la condición de tener varias caracterizaciones equivalentes (siendo la más geométrica el transporte paralelo inducido por la métrica que da lugar a funciones complejo-lineales en los espacios tangentes). En términos de coordenadas locales se especifica de este modo: si.

h = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \otimes d \bar z^j

es métrica hermítica, entonces la forma de Kähler asociada (definida salvo un factor de i / 2) por

\omega = \sum h_{i\bar j}\; dz^i \wedge d \bar z^j

es cerrada: es decir, dω = 0. Si M lleva tal métrica se llama una variedad de Kähler.

La métrica en la variedad de Kähler satisface localmente

g_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2 K}{\partial z^i \partial \bar{z}^{j}}

para alguna función K, llamado "el potencial de Kähler".

Una variedad de Kähler, la forma asociada de la metrica de Kähler es llamada Kähler-Einstein (o algunas veces Einstein-Kähler) si su tensor de curvatura Ricci es proporcional al tensor métrico, R = λg, por alguna constante λ. Este nombre es un recordatorio de las consideraciones de Einstein sobre la constante cosmológica. Ver el artículo variedad de Einstein para más detalles.

Ejemplos

  • El espacio euclidiano complejo \mathbb{C}^n con la métrica hermítica estándar es una variedad de Kähler.
  • Un toro complejo, dado por \mathbb{C}^n/\Lambda para una cierta red Λ, forma una variedad compacta de Kähler con la métrica natural.
  • Cada superficie de Riemann es una variedad de Kähler, puesto que la condición para que ω sea cerrado es trivial en 2 dimensiones (reales).
  • El espacio proyectivo complejo \mathbb{C}P^n tiene un métrica de Kähler natural llamada métrica de Fubini-Study. Esencialmente está determinada por la condición que sea invariante bajo la acción del grupo unitario (de una dimensión más grande, actuando en el espacio vectorial complejo que da lugar al espacio proyectivo).
  • Cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler. En particular, cualquier variedad compleja que se pueda encajar en \mathbb{C}^n o \mathbb{C}P^n es Kähler.
  • Las propiedades de la restricción de la métrica de Fubini-Study significa que las variedades algebraicas complejas proyectivas no singulares llevan métricas de Kähler. Esto es fundamental en su teoría analítica.

Una subclase importante de las variedades de Kähler son las variedades de Calabi-Yau.

Véase también

Referencias

  • André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)
  • Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
  • Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Variedad de Kähler — En matemáticas, una variedad de Kähler es una variedad compleja que también lleva una métrica de Riemann y una forma simpléctica en la variedad real subyacente de modo tal que las tres estructuras (compleja, de Riemann y simpléctica) sean todas… …   Enciclopedia Universal

  • Variedad de Calabi-Yau — Sección bidimensional proyectada en 3D de una variedad de Calabi Yau de dimensión 6 embebida en CP4 En matemáticas, una variedad de Calabi Yau es una variedad de Kähler compacta con una primera clase de Chern nula. El matemático Eugenio Calabi… …   Wikipedia Español

  • Variedad de Calabi-Yau — En matemáticas, una variedad de Calabi Yau es una variedad de Kähler compacta con una primera clase de Chern nula. El matemático Eugenio Calabi conjeturó en 1957 que tales variedades admiten una métrica Ricci flat (una en cada clase de Kähler),… …   Enciclopedia Universal

  • Variedad compleja — En geometría diferencial, una variedad compleja M es una variedad topológica que tiene la estructura que nos permite definir la noción de función holomorfa .[1] Ello se podrá conseguir por dos caminos: Exigiendo que exista un atlas (o conjunto de …   Wikipedia Español

  • Erich Kähler — Nombre completo Erich Kähler Nacimiento 16 de enero de 1906 …   Wikipedia Español

  • Conjetura de Hodge — La conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se relacionan la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad. En concreto, la… …   Wikipedia Español

  • Eugenio Calabi — Saltar a navegación, búsqueda Eugenio Calabi (11 de marzo de 1923), es un matemático americano y profesor emérito en la Universidad de Pensylvania, especializado en la geometría diferencial, ecuaciones parciales diferenciales y sus aplicaciones.… …   Wikipedia Español

  • Supergravedad — En Física teórica, supergravedad (teoría de supergravedad) es una teoría de campos que combina el principio de supersimetría y relatividad general. Estas teorías juntas implican que, en supergravedad, la supersimetría es una Simetría local (al… …   Wikipedia Español

  • Topología simpléctica — La topología simpléctica es aquella parte de la matemática referida al estudio de las variedades simplécticas. Estas variedades se presentan naturalmente en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las… …   Wikipedia Español

  • Aljamiado — Handschrift des Poema de Yuçuf. Sie stammt aus der Mudéjar Epoche, 14.Jhd., ist in einem alt spanischen Dialekt (aragonesisch) verfasst und im arabischem Alphabet geschrieben. Dieser arabische Aljamiadotext erzählt in altspanischer Sprache die… …   Deutsch Wikipedia

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”