Función beta

Función beta
Este artículo trata sobre función beta de Euler. Para otras funciones beta, véase Función beta (desambiguación).
Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.

En matemáticas, la función beta[1] es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

Contenido

Definición

Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

e^{(x+y)} = e^x\,e^y.

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para x e y, dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto Γ(x)Γ(y):

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = \int_0^\infty s^{x-1}\,e^{-s}\,ds\,\int_0^\infty t^{y-1}\,e^{-t}\,dt = \int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty s^{x-1}t^{y-1}\,e^{-s-t}\,ds\,dt

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables t = u2 y s = v2:

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty u^{2x-1}v^{2y-1}\,e^{-(u^2+v^2)}\,du\,dv.

Pasando a coordenadas polares u = rcosθ, v = rsinθ esta integral doble arroja

\Gamma(x)\,\Gamma(y) = 4\,\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}r^{2(x+y-1)}e^{-r^2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,r\,dr\,d\theta

Haciendo t = r2 obtenemos

\begin{align}\Gamma(x)\,\Gamma(y) &= 2\,\int_0^\infty t^{x+y-1}e^{-t}\,dt \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta)\,d\theta\\ &= 2\Gamma(x+y)\int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta \end{align}

Definiendo la función beta

\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}(\theta)\sin^{2y-1}(\theta) \,d\theta,

se obtiene

\Gamma(x)\Gamma(y) = \Gamma(x+y)\,\Beta(x,y).

Propiedades

  1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
    \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.
  2. La función beta es simétrica
    \Beta(x,y) = \Beta(y,x).\,
  3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta
    \Beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
    \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt

Derivadas

Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

donde ψ(x) es la función digamma.

Aplicación

Puesto que Γ(1) = 1, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

\Beta(1/2,1/2) = \pi = \Gamma^2(1/2)\,

de donde \Gamma(1/2) = \sqrt\pi.

Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular

\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt.

Entonces podemos[2]

\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,dt = \int_0^{\pi/2}\cos^{2(n+1)/2-1}(t)\,\sin^{2(1/2)-1}(t)dt = \frac{1}{2}\,\Beta \left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right).

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos

\Beta(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) = \frac{\Gamma[(n+1)/2]\Gamma(1/2)}{\Gamma(n/2+1)} = \frac{\sqrt\pi\,\Gamma[(n+1)/2]}{\Gamma(n/2 + 1)}.

De manera que

\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\,dt = \frac{\sqrt\pi\,\Gamma[(n+1)/2]}{2\,\Gamma(n/2 + 1)} = \begin{cases} \displaystyle{\frac{2^{2k}(k!)^2}{(2k+1)!}}&\ \mathrm{si}\ n = 2k+1;\\ \displaystyle{\frac{\pi\,(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^2}}&\ \mathrm{si}\ n = 2k. \end{cases}

Notas

  1. ↑ Llamada también funcón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
  2. ↑ Este resultado es válido, aun si se considera a n como un número complejo cuya parte real es mayor que -1

Véase también


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