Función digamma

Función digamma
Función Digamma Ψ(s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de Ψ(s).Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma, siendo la primera de las funciones poligamma. Se define de la siguiente manera:

\psi(z) =\frac{d\,\ln\Gamma}{dz}(z)= \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

donde Γ denota la función gamma.

Contenido

Representaciones

Usando la expresión

 \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni, podemos tomar el logaritmo

 \ln(\Gamma(z)) = -\gamma z - \ln z - \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1 + \frac{z}{n}\right) - z/n

y derivando respecto de z, obtenemos una representación en forma de serie


\psi(z) = -\gamma - \frac{1}{z} +
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+z}\right)
= -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k-1} \right).

Propiedades

De la expresión anterior se desprende la relación de recurrencia

\psi(z + 1) = \psi(z) + \frac{1}{z}.

De aquí que si n es un entero positivo, entonces


\psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} = -\gamma + H_{n-1}

donde Hn − 1 es el (n − 1)-ésimo número armónico.

\Psi(1 - x) - \Psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }
  • La función digamma tiende asintóticamente a la función logaritmo.
  • La función digamma también se denota como ψ0(x) o incluso ψ0(x).

Temas relacionados

Referencias

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
  • Weisstein, Eric W. «Digamma function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

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