Función beta de Dirichlet

Función beta de Dirichlet
Este artículo trata sobre función beta de Dirichlet. Para otras funciones beta, véase Función beta (desambiguación).

En matemática, la función beta de Dirichlet (también conocida como la función beta de Catalan) es una función especial, íntimamente relacionada con la función zeta de Riemann. En particular, es una función L de Dirichlet, concretamente la función L para el character alternado de periodo cuatro.

Contenido

Definición

La función beta de Dirichlet se define como

\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s},

o, equivalentemente,

\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx.

En ambos casos, se asume que Re(s) > 0.

Alternativamente, la siguiente definición, en términos de la función zeta de Hurwitz, es válida íntegramente para todo el plano complejo:

\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta\left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta\left( s, {3 \over 4}\right) \right).

Otra difinición equivalente, en términos de la función zeta de Lerch, es:

\beta(s) = 2^{-s} \Phi\left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),

la cual es también valida para todo valor complejo 's.

Ecuación funcional

La ecuación funcional prolonga analalíticamente la función beta a la parte del plano complejo Re(s)<0; ésta viene dada por:

\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) 
\cos \frac{\pi s}{2}\,\beta(1-s)

donde Γ(s) es la función gamma.

Valores especiales

Algunos valores especiales, entre los que se incluyen:

\beta(0)= \frac{1}{2},
\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},
\beta(2)\;=\;G,

donde G representa la constante de Catalan, y

\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32},
\beta(4)\;=\;\frac{1}{768}(\psi_3(\frac{1}{4})-8\pi^4),
\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536},
\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320},

donde ψ3(1 / 4), escrito arriba, es un ejemplo de función poligamma. Más generalmente, para cada entero positivo k:

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}},

donde  \!\ E_{n} representa los números de Euler. Para enteros k ≥ 0, está se puede escribir como:

\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.

Dado que E2k + 1 = 0 con k ≥ 0, la función se anula para todo número entero negativo impar del argumento.

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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