Función convexa

Función convexa en un intervalo [x,y].

En matemática, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si para dos puntos cualquiera x e y es su dominio C y cualquier t en [0,1], se cumple

En otras palabras, una función es convexa sí y sólo si su epigrafo (el conjunto de puntos situados en o sobre el grafo) es un conjunto convexo.

Una función estrictamente convexa es aquella en que

para cualquier t en (0,1) y

Una función f es cóncava si la función − f es convexa.

Propiedades

Una función (en azul) es convexa si y sólo si la región sobre su grafo (en verde) es un conjunto convexo.

Una función convexa f definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos menos en un conjunto numerable. Si C es cerrado, f puede no ser continuo en los puntos críticos o finales de C.

Una función es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo "C" si

para todo x e y en C. Esta condición es sólo ligeramente más relajada que la de convexidad. En particular, una función continua que es punto-medio convexa será también convexa.

Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo sí y sólo si su derivada es monótonamente no-decreciente en ese intervalo.

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).

Una función doblemente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si su segunda derivada es no negativa en ese intervalo; esto proporciona una prueba práctica para verificar convexidad. Si la segunda derivada es positiva, entonces es estrictamente convexa, pero la doble implicación no se cumple, como podemos ver por ejemplo en f(x) = x⁴.

En general, una función continua doblemente diferenciable de muchas variables es convexa en un conjunto convexo si y sólo si su matriz Hessiana is definida positiva en el interior de ese conjunto convexo.

Cualquier mínimo local de una función convexa es también un mínimo absoluto. Una función estrictamente convexa tendrá a lo más un mínimo absoluto.

Para una función convexa f, los conjuntos de nivel {x | f(x) < a} y {x | f(x) ≤ a} con a ∈ R son conjuntos convexos. Sin embargo, una función cuyos conjuntos de nivel son conjuntos convexos puede no resultar ser convexa; una función de este tipo se llama función cuasi-convexa.

La inecuación de Jensen se aplica a toda función convexa f. Si X es una variable aleatoria que toma valores en el dominio de f, entonces (Aquí E denota la esperanza matemática.)

Cálculo de función convexa

• Si f y g son funciones convexas, entonces también lo son m(x) = max{f(x),g(x)} y h(x) = f(x) + g(x).
• Si f y g son funciones convexas y g es creciente, entonces h(x) = g(f(x)) es convexa.
• La convexidad es invariante bajo mapeamientos afines; es decir, si f(x) es convexa, con , entonces también lo es g(y) = f(Ay + b), donde
• Si f(x,y) es convexa en (x,y) y C es un conjunto convexo no vacío, entonces es convexa en x, siempre que para algún x.

Ejemplos

• La función f(x) = x² tiene f''(x) = 2 > 0 en todos los puntos, luego f es una función (estrictamente) convexa.
• La función valor absoluto f(x) = | x | es convexa, incluso a pesar de que no es derivable en el punto x = 0.
• La función f(x) = | x | ^p para 1 ≤ p es convexa.
• La función f con dominio [0,1] definida por f(0)=f(1)=1, f(x)=0 para 0<x<1 es convexa; es continua en el intervalo abierto (0,1), pero no en 0 ni en 1.
• La función x³ tiene segunda derivada 6x; luego ella es convexa en el conjunto donde x ≥ 0 y cóncava en el conjunto donde x ≤ 0.
• Toda transformación lineal con dominio en es convexa, pero no estrictamente convexa, pues si f es lineal, luego f(a + b) = f(a) + f(b). Esto también se aplica si reemplazamos "convexo" por "cóncavo".
• Toda función afín con dominio en , es decir, cada función de la forma f(x) = a^Tx + b, es al mismo tiempo convexa y cóncava.
• Toda norma vectorial es una función convexa, por la desigualdad triangular.
• Si f es convexa, la función perspectiva g(x,t) = tf(x / t) es convexa para t > 0.
• Las funciones y g(x) = log(x). son monótonamente crecientes pero no convexas.
• Las funciones h(x) = x² y k(x) = − x son convexas pero no monótonamente crecientes.
• La función f(x) = 1/x², con f(0)=+∞, es convexa en los intervalos (0,+∞) y (-∞,0), pero no es convexa en (-∞,+∞), debido al punto x = 0.

Véase también

• Función real de variable real
• Convexidad
• Polígono convexo
• Función cóncava

Referencias

• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. 
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. 
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. 
• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. 
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, y Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

Enlaces externos

• Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF)