Función zeta de Igusa

Función zeta de Igusa

En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p2, p3, y así sucesivamente

Contenido

Definición

Para un número primo p sea K un cuerpo p-ádico, es decir [K: \mathbb{Q}_p]<\infty , R el anillo de valuación y P el ideal máximo. Para z \in K \operatorname{ord}(z) expresa la valuación de z, \mid z \mid = q^{-\operatorname{ord}(z)}, y ac(z)=z \pi^{-\operatorname{ord}(z)} para un parámetro uniformizante π de R.

Sea \phi : K^n \mapsto \mathbb{C} una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea χ un carácter de K * .

En este caso se asocia un polinomio no constante f(x_1, \ldots, x_n) \in K[x_1,\ldots,x_n] a la función zeta de Igusa

Z_\phi(s,\chi) = \int_{K^n} \phi(x_1,\ldots,x_n) \chi(ac(f(x_1,\ldots,x_n))) |f(x_1,\ldots,x_n)|^s \, dx

donde s \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(s)>0, y dx es una medida de Haar normalizada de forma tal que Rn posee una medida unitaria.

Teorema de Igusa

Junichi Igusa demostró que Zϕ(s,χ) es una función racional en t = q − s. La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades. Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a formulas explicitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)

Congruencias módulo potencias de P

Por tanto, sea ϕ la función característica de Rn y χ el carácter trivial. Denótese por Ni el número de soluciones de la congruencia

f(x_1,\ldots,x_n) \equiv 0 \mod P^i.

Entonces, la función zeta de Igusa

Z(t)= \int_{R^n} |f(x_1,\ldots,x_n)|^s \, dx

está relacionada con la serie de Poincaré

P(t)= \sum_{i=0}^{\infty} q^{-in}N_i t^i

por

P(t)= \frac{1-t Z(t)}{1-t}.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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