Medida de Haar

Medida de Haar

En análisis matemático, la medida de Haar es una manera de asignar un "volumen invariante" a los subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos y de definir posteriormente una integral para las funciones sobre esos grupos. Esta medida fue introducida por Alfréd Haar, matemático húngaro, alrededor del año 1932. Véase también Dualidad de Pontryagin. Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis y de la teoría de números.

Contenido

Preliminares

Sea G un grupo topológico localmente compacto. En este artículo, la σ-álgebra X generada por todos los subconjuntos compactos de G se llama el álgebra de Borel. Un elemento del álgebra de Borel se llama un conjunto de Borel (boreliano).


Si a es un elemento de G y S es un subconjunto de G, entonces definimos el trasladado por la izquierda y por la derecha de S como sigue:

  • La traslación izquierda:
a S = \{a \cdot s: s \in S\}.
  • La traslación derecha:
S a = \{s \cdot a: s \in S\}.

Las traslaciones izquierda y derecha trasladan conjuntos de Borel a conjuntos de Borel.

Una medida μ en los subconjuntos de Borel de G se llama invariante por traslación izquierda si y sólo si para todos los subconjuntos de Borel S de G y para toda a en G se tiene

\mu(a S) = \mu(S). \quad


Una definición similar se hace para la invariancia por traslación derecha.

Existencia de la medida izquierda de Haar

Se verifica que hay, salvo una constante multiplicativa, sólo una medida regular invariante por traslación izquierda en X que sea finita en todos los conjuntos de Borel de G tales que el μ(U) > 0 para cualquier abierto de Borel no vacío U dado. Aquí, se dice que μ es regular sii


  • μ(K) es finita para cada conjunto compacto K.
  • Cada conjunto de Borel E es regular exterior:
\mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \mbox{ abierto y Borel}\}.


  • Si E es de Borel, entonces E es regular interior:
\mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \mbox{ compacto }\}.


Observación. Obsérvese que en algunos casos patológicos, un conjunto puede ser abierto sin ser de Borel. Por esta razón, en la propiedad de regularidad exterior, el rango del ínfimo se establece específicamente sobre conjuntos que son abiertos y de Borel. Estas patologías nunca ocurren si G es un grupo localmente compacto cuya topología subyacente es metrizable separable; obsérvese que en este caso la estructura de Borel es aquella generada por todos los conjuntos abiertos.

La medida derecha de Haar

Puede también ser probado que existe una medida ν regular invariante por traslación derecha esencialmente única, pero no necesita coincidir con la medida μ regular invariante por traslación izquierda. Estas medidas son iguales solamente para los grupos llamados unimodulares (véase abajo). Es fácil, sin embargo, encontrar una relación entre el μ y ν.

De hecho, para un Borel S dado, S- 1 denota el conjunto de inversos de elementos de S. Obsérvese que si definimos

\mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad

entonces esto es una medida derecha de Haar. Para demostrar la invariancia derecha, aplíquese la definición:

\mu_{-1}(S a) = \mu((S a)^{-1}) = \mu(a^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad

Porque la medida derecha es única, se sigue que μ-1 es un múltiplo de ν y entonces

\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,


para todo S de Borel fijo, donde k es alguna constante positiva.


La integral de Haar

Usando la teoría general de la integración de Lebesgue, se puede entonces definir una integral para todas las funciones medibles f de Borel en G. Esta integral se llama la integral de Haar. Si μ es una medida izquierda de Haar, entonces

\int_G f(s x) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)

para cualquier función integrable f. Esto es inmediato para las funciones de escalón que dan esencialmente la definición de la invariancia izquierda.

Aplicaciones

Las medidas de Haar se utilizan en análisis armónico en grupos localmente compactos arbitrarios, considérese la dualidad de Pontryagin. Una técnica con frecuencia usada para probar la existencia de una medida de Haar en un grupo localmente compacto G es demostrando la existencia de una medida de Radon invariante izquierda en G.


Obsérvese que, a menos que G sea un grupo discreto, es imposible definir una medida invariante derecha contablemente-aditiva sobre todos los subconjuntos de G, si se asume el axioma de elección. Véase conjuntos no-medibles.

Ejemplos

  • La medida de Haar en el grupo topológico (R, +) que toma el valor 1 en el intervalo [0, 1] es igual a la restricción de la medida de Lebesgue a los subconjuntos de Borel de R. Esto se puede generalizar a (Rn, +).


  • Si G es el grupo de números reales positivos con la multiplicación como operación, entonces la medida de Haar μ(S) viene dada por
\mu(S) = \int_S \frac{1}{t} \, dt
para cualquier subconjunto S de Borel en los reales positivos.


Esto se generaliza a lo siguiente:

  • Para G = GL(n, R) las medidas izquierdas y derechas de Haar son proporcionales y
\mu(S) = \int_S {1\over |\det(X)|^n} \, dX


donde dX denota la medida de Lebesgue en Rn2, el conjunto de todas las matrices n × n. Esto se sigue de la fórmula de cambio de variables.


  • Más generalmente, en cualquier grupo de Lie de dimensión d una medida izquierda de Haar puede ser asociada a cualquier d-forma ω invariante izquierda diferente de cero, como la medida de Lebesgue |ω|; y semejantemente para las medidas derechas de Haar. Esto significa también que la función modular puede ser computada, como el valor absoluto del determinante de la representación adjunta.

La función modular

Obsérvese que la traslación izquierda de una medida de Haar derecha es una medida derecha de Haar. Más exactamente, si ν es una medida derecha de Haar, entonces

A \mapsto \mu (t^{-1} A) \quad

es también invariante derecha. Así, existe una función única tal que para cada conjunto de Borel A

\mu (t^{-1} A) = \Delta(t) \mu(A). \quad


Un grupo es unimodular sii la función modular es idénticamente 1. Ejemplos de grupos unimodulares son los grupos compactos y los grupos abelianos. Un ejemplo de un grupo no unimodular es el grupo de las transformaciones de la forma

x \mapsto a x + b\quad

en la recta real.

Referencias

  • P. Halmos, teoría de la medida, D. van Nostrand y Co., 1950.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Medida de Haar — En análisis matemático, la medida de Haar es una manera de asignar un volumen invariante a los subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos y de definir posteriormente una integral para las funciones sobre esos grupos. Esta medida fue… …   Enciclopedia Universal

  • Medida de Lebesgue — En matemáticas, la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, área, o volumen a los subconjuntos del espacio euclídeo. Se usa en el análisis real, especialmente para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los… …   Wikipedia Español

  • Teoría de la medida — Una medida aplica ciertos subconjuntos (pertenecientes a una σ álgebra) en valores del intervalo [0, ∞]. En matemáticas, una medida es una función que asigna un número, un tamaño , un volumen , o una probabilidad , a los subconjuntos de un… …   Wikipedia Español

  • Dualidad de Pontryagin — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, en particular en el análisis armónico y la teoría de grupos topológicos, la dualidad de Pontryagin explica las propiedades generales de la transformada de Fourier. Pone en un contexto unificado un… …   Wikipedia Español

  • Integración — La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Para otros usos de este término, véase Integración …   Wikipedia Español

  • Convolución — en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D) …   Wikipedia Español

  • Energía cinética — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Cinética. Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía cinética cuando están en el fondo de su trayectoria. Cuando comienzan a elevarse, la energía cinética comienz …   Wikipedia Español

  • Función zeta de Igusa — En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p2, p3, y así sucesivamente Contenido 1 Definición 2 Teorema de Igusa 3 Con …   Wikipedia Español

  • Mecánica del sólido rígido — Movimiento complejo de un sólido rígido, que presenta precesión alrededor de la dirección del momento angular además rotación según su eje de simetría La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos… …   Wikipedia Español

  • Traza parcial — En el álgebra lineal y el análisis funcional, la traza parcial es una generalización de la traza. Mientras que la traza es una función a valores escalares sobre operadores, la traza parcial es una función operador valorada. La traza parcial tiene …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”