Hipotrocoide

Hipotrocoide

Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

Hipotrocoide (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 5, r = 3, d = 5).
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Parámetros: R = 10, r = 5 = R/2, d = 1.

Ecuaciones

Siendo q=\dfrac{a}{b} (donde q > 1) y d = kb, con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio b, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

z = (a-b) e^{it} + d e^{-i(q-1)t} \,

donde:

qz = a[(q-1) e^{it} + k e^{-i(q-1)t}] \,
q(x + iy) = a(q − 1)cos(t) + ia(q − 1)sin(t) + akcos[(q − 1)t] − iaksin[(q − 1)t]

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

qx = a(q-1) \cos(t) + ka \cos[(q-1)t)]; \,
qy = a(q-1) \sin(t) - ka \sin[(q-1)t)]; \,

donde:

q = \dfrac{a}{b} y k=\dfrac{d}{b} \,.

Sabiendo que a = R, b = r y t = θ, obtenemos las ecuaciones siguientes:

x = (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right)
y = (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)

el ángulo θ varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde R = 2r.

Las hipocicloides son casos particulares, donde d = r (el punto fijo de la generatriz)

Véase también

Enlaces externos


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