Elipse

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La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

ElipseAnimada.gif

Contenido

Historia

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.[2]

Elementos de una elipse

Elementos de una elipse.

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a \, {2a} ), y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos \, {F_1} y \, {F_2} que se llaman «focos».

El punto \, {Q} puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».

Puntos de una elipse

Si 'F1' y 'F2' son dos puntos del plano y D es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

F_1 Q + F_2 Q = d = 2a \,

donde a\; es el semieje mayor de la elipse.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es la razon entre su semidistancia focal (segmento F1D o F2D), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.


e=\frac{c}{a} , con (0 < e < 1)


Dado que c = \sqrt{a^2-b^2} , también vale la relación:


e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}


La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.[3]

Constante de la elipse

Ellipse Animation Small.gif

En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».

En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco \, {F_1} al punto \, {Q} (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco \, {F_2} a ese mismo punto \, {Q} . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).

El segmento correspondiente, tanto trazo \, {QF_1} (color azul), como al \, {QF_2} (color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro \, {0} . En la animación, el punto \, Q recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).

Ecuaciones de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

\frac{(x-x_1)^2}{a^2}+\frac{(y-y_1)^2}{b^2} = 1

En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida por la ecuación:

\rho(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}

La ecuación paramétrica de una elipse es:

\begin{cases} x = a\cos\theta\\ y = b\sin\theta \end{cases}

con \theta\in [0,2\pi), y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b

Siendo a y b los semiejes.[4]

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

La elipse como cónica

La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

la elipse como conica

La elipse como hipotrocoide

La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.

En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Construcción paramétrica de una elipse

Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radios alineados, la intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.

Parametric ellipse.gif

Anamorfosis de un círculo en una elipse

Artículo principal: Anamorfosis

Cierta trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde a una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego, y significa trasformar.


Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una anamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado.

En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse, y los cuadrados en rectángulos.

La elipse en mecánica celeste

En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica ideal. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales. Esto está descrito en las leyes de Kepler.

Véase también

Notas

  1. ↑ Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es menor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será una hipérbola. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular dicho eje.
  2. ↑ Mathworld: Ellipse.
  3. ↑ Ejemplos de excentricidad de una elipse, en geometriadinamica
  4. ↑ Ejemplo en educaplus

Enlaces externos

Obtenido de "Elipse"

Wikimedia foundation. 2010.

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  • elipse — (Del lat. ellipsis, y este del gr. ἔλλειψις). f. Geom. Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante. Resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las… …   Diccionario de la lengua española

  • Elipse — (Del lat. ellipsis < gr. elleipsis, insuficiencia.) ► sustantivo femenino GEOMETRÍA Curva cerrada y achatada, simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí. * * * elipse (del lat. «ellipsis», del gr. «élleipsis», insuficiencia) f.… …   Enciclopedia Universal

  • elipse — {{＃}}{{LM E14401}}{{〓}} {{SynE14742}} {{［}}elipse{{］}} ‹e·lip·se› {{《}}▍ s.f.{{》}} {{♂}}En geometría,{{♀}} curva cerrada y plana, que resulta de cortar un cono circular con un plano oblicuo a su eje y que afecte a todas sus generatrices: • Una… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • Elipse — Zu diesem Stichwort gibt es keinen Artikel. Möglicherweise ist „Ellipse“ gemeint. Kategorie: Wikipedia:Falschschreibung …   Deutsch Wikipedia

  • elipse — m 1) Curva cerrada tal que la suma de las distancias de cualquier punto de su plano a dos puntos fijos, los focos, es constante. 2) Secciуn cуnica que se forma por la intersecciуn de un cono circular recto con un plano que corta oblicuamente el… …   Diccionario de Construcción y Arquitectur

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