Identidad de Euler

Identidad de Euler
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Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas.

e^{i \pi} + 1 = 0\,\!

donde:

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

\pi = \frac {ln(-1)}{i}\,\!

Contenido

Derivación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

x = \pi \,\!

entonces

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!

y ya que

\cos \pi = -1 \,\!

y que

\sin \pi = 0 \,\!

se sigue que

e^{i \pi} = -1 \,\!

Lo cual implica la identidad

e^{i \pi} +1 = 0 \,\!

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

x = i\pi,\,\!

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!

para obtener:

e^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!

simplificando (usando i2 = -1):

e^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

e^{i \pi} = -1\,\!

Logaritmos de números negativos

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, log( − 4) podemos proceder de la siguiente manera:

log(-4) \!


log(-1) + log(4) \!


\ln(-1)/2,3026 + log(4) \!


Sabiendo que ln( − 1) = πi:


\pi i/2,3026 + log(4) \!

Referencias

  • Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
  • Crease, Robert P. "Equations as icons," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
  • Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
  • Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
  • Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
  • Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006), ISBN 978-0-691-11822-2
  • Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).
  • Sandifer, Ed, "Euler's Greatest Hits", MAA Online, February 2007.
  • Jayadev, C, "The Greatest equation ever"
  • Weisstein, Eric W.. «Euler Formula» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el 15-05-2009.

Véase también

Enlaces externos


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