Identidad de Euler

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Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas.

$e^{i \pi} + 1 = 0\,\!$

donde:

π (pi) es el número más importante de la geometría^{[cita requerida]}
e (número de Euler o constante de Napier) es el número más importante del análisis matemático^{[cita requerida]}
i (imaginario) es el número más importante del álgebra^{[cita requerida]}
0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

$\pi = \frac {ln(-1)}{i}\,\!$

Derivación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

$x = \pi \,\!$

entonces

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

y ya que

$\cos \pi = -1 \,\!$

y que

$\sin \pi = 0 \,\!$

se sigue que

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

Lo cual implica la identidad

$e^{i \pi} +1 = 0 \,\!$

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

$x = i\pi,\,\!$

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

$e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!$

para obtener:

$e^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!$

simplificando (usando i² = -1):

$e^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!$

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

$i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!$

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

$e^{i \pi} = -1\,\!$

Logaritmos de números negativos

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, $l o g ( - 4)$ podemos proceder de la siguiente manera:

$log(-4) \!$

$log(-1) + log(4) \!$

$\ln(-1)/2,3026 + log(4) \!$

Sabiendo que $l n ( - 1) = π i$ :

$\pi i/2,3026 + log(4) \!$

Referencias

Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
Crease, Robert P. "Equations as icons," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006), ISBN 978-0-691-11822-2
Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).
Sandifer, Ed, "Euler's Greatest Hits", MAA Online, February 2007.
Jayadev, C, "The Greatest equation ever"
Weisstein, Eric W.. «Euler Formula» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el 15-05-2009.

Véase también

Enlaces externos

Demostración completa de la identidad de Euler

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