Fórmula de Euler

Fórmula de Euler

La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

e^{i x} = \cos x + i\,\sin x

para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, sin x y cos x son funciones trigonométricas.

O bien:

e^{z} = e^{x + i y} = \ e^{x} (\cos y + i\,\sin\,y)

siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy.

Contenido

Demostración

Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrar la fórmula de Euler.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).

Demostración usando las Series de Taylor

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

Sabiendo que:

\begin{align} i^0 &{}= 1, \quad & i^1 &{}= i, \quad & i^2 &{}=-1\quad & i^3 &{}= -i, \\ i^4 &={} 1, \quad & i^5 &={} i, \quad & i^6 &{}= -1, \quad & i^7 &{}= -i, \\ \end{align}

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

\begin{align} e^x &{}= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\ \cos x &{}= \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &{}= \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align}

Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

\begin{align} e^{iz} &{}= \frac{(iz)^0}{0!} + \frac{(iz)^1}{1!} + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \frac{z^0}{0!} + i\frac{z^1}{1!} - \frac{z^2}{2!} - i\frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + i\frac{z^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - i\frac{z^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( \frac{z^0}{0!} - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( \frac{z^1}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos (z) + i\sin (z) \end{align}

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Relevancia matemática

La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.

para el logaritmo de un número negativo:

basta con evaluar la fórmula de euler en x = π , obteniendo:

e^{\mathrm{i}\pi} = \cos \pi+ \mathrm{i}\,\sin \pi=-1
e^{\mathrm{i}\pi} =-1 \,\!

Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1:

\mathrm{i}\pi =\ln (-1) \,\!.

Para un número negativo cualquiera:

\ln (-a) = \ln (a) + \ln (-1) = \ln (a) + \mathrm{i}\pi \,\!. (Con a > 0).

Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma -excepto por la unidad imaginaria- con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.

De las reglas de la exponenciación

e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}

y

(e^a)^b = e^{a \cdot b}

(válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas

e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x
e^{\mathrm{-i}x} = \cos x - \mathrm{i}\,\sin x

para el seno y el coseno.

En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler.

Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler. .

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • Fórmula de Euler-Maclaurin — En matemáticas, la fórmula de Euler Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infnitas) resolviendo integrales. La… …   Wikipedia Español

  • Fórmula de Euler — La Fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que: para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas. La fórmula puede… …   Enciclopedia Universal

  • Euler–Mascheroni constant — Euler s constant redirects here. For the base of the natural logarithm, e ≈ 2.718..., see e (mathematical constant). The area of the blue region is equal to the Euler–Mascheroni constant. List of numbers – Irrational and suspected irrational… …   Wikipedia

  • Fórmula de De Moivre — La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que: Esta fórmula es importante porque conecta a los… …   Wikipedia Español

  • Euler-Mascheroni-Konstante — γ Die Euler Mascheroni Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), auch Eulersche Konstante, ist eine wichtige mathematische Konstante, die mit dem griechischen Buchstaben γ (Gamma) bezeichnet wird …   Deutsch Wikipedia

  • Euler's formula — This article is about Euler s formula in complex analysis. For Euler s formula in algebraic topology and polyhedral combinatorics see Euler characteristic.   Part of a series of articles on The mathematical constant e …   Wikipedia

  • Euler–Maclaurin formula — In mathematics, the Euler–Maclaurin formula provides a powerful connection between integrals (see calculus) and sums. It can be used to approximate integrals by finite sums, or conversely to evaluate finite sums and infinite series using… …   Wikipedia

  • Euler's identity — [ 300px|thumb|right|The exponential function e z can be defined as the limit of nowrap|(1 + z / N ) N , as N approaches infinity, and thus e iπ is the limit of nowrap|(1 + iπ/N ) N . In this animation N takes various increasing values from 1 to… …   Wikipedia

  • Euler's totient function — For other functions named after Euler, see List of topics named after Leonhard Euler. The first thousand values of φ(n) In number theory, the totient φ(n) of a positive integer n is defined to be the number of positive integers less than or equal …   Wikipedia

  • Euler's continued fraction formula — In the analytic theory of continued fractions, Euler s continued fraction formula is an identity connecting a certain very general infinite series with an infinite continued fraction. First published in 1748, it was at first regarded as a simple… …   Wikipedia

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”