- Identidades de Green
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En matemáticas, las Identidades de Green son un conjunto de igualdades en cálculo vectorial. Nombradas así en honor del matemático George Green, el mismo que descubrió el Teorema de Green.
Contenido
Primera Identidad de Green
Esta identidad se deriva del Teorema de la divergencia aplicado a un campo vectorial
.Si ϕ es una función continuamente diferenciable de clase C2 y ψ es otra función continuamente diferenciable, pero de clase C1 en una región U, entonces:
donde
es el operador Laplaciano.Segunda Identidad de Green
Si ϕ y ψ son funciones continuamente diferenciables de clase C2 las dos en U, entonces:
Tercera Identidad de Green
La tercera identidad de Green se obtiene a partir de la segunda particularizando la función ϕ(y) a:
En este caso, el laplaciano de ϕ(y) es:
La tercera identidad de Green dice entonces que, si ψ es una función continuamente diferenciable de clase C2 en U, entonces:
Donde:
- k = 4πψ(x) si
, - k = 2πψ(x) si
y tiene un plano tangente a x - k = 0 en el resto de casos.
Véase también
Categorías:- Cálculo vectorial
- Análisis matemático
- Cálculo multivariable
- Identidad matemática
![\oint_{\partial U} \left[\frac{1}{|\mathbf{x} - y|} \frac{\partial}{\partial n}\psi(\mathbf{y}) - \psi(\mathbf{y})\frac{\partial}{\partial n_\mathbf{y}} \frac{1}{|\mathbf{x} - y|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int_U \left[\frac{1}{|\mathbf{x} - y|} \Delta\psi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k.](b/5bbf83c3fee86a97b8a497b513ae2127.png)
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