Teorema de Green

Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,


\int_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA


A veces la notación

\oint_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy)

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de la divergencia

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} ds, donde \mathbf{\hat n} es el versor normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser \langle dy, -dx\rangle. El módulo de este vector es \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Por lo tanto \mathbf{\hat n} ds = \langle dy, -dx\rangle.

Tomando los componentes de \mathbf{F} = \langle P, Q\rangle, el lado derecho se convierte en

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_C (P dy - Q dx)

que por medio del teorema de Green resulta:

\int_C (-Q dx + P dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA

Véase también

Enlaces externos

Libros recomendados

Calculo multivariable [cuarta edicion] autor:James Stewart


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Teorema de Green — En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico… …   Enciclopedia Universal

  • Teorema de Stokes — El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819 1903), a pesar de que la primera… …   Wikipedia Español

  • Teorema de la divergencia — En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el… …   Wikipedia Español

  • Identidades de Green — En matemáticas, las Identidades de Green son un conjunto de igualdades en cálculo vectorial. Nombradas así en honor del matemático George Green, el mismo que descubrió el Teorema de Green. Contenido 1 Primera Identidad de Green 2 Segunda… …   Wikipedia Español

  • George Green — Portada de un ensayo publicado en 1828 por George Green. George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más… …   Wikipedia Español

  • George Green — (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemáticobritánico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a… …   Enciclopedia Universal

  • Función de Green — En matemáticas, una función de Green es una función matemática usada como núcleo de un operador lineal integral y usada en la resolución de ecuaciones diferenciales inhomogéneas con condiciones de contorno especificadas. La función de Green… …   Wikipedia Español

  • Integración — La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Para otros usos de este término, véase Integración …   Wikipedia Español

  • Décimo problema de Hilbert — Saltar a navegación, búsqueda El décimo problema de Hilbert es uno de los veintitrés que David Hilbert propuso al término del siglo XIX. Su enunciado original es: Dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes… …   Wikipedia Español

  • Cálculo infinitesimal — Saltar a navegación, búsqueda El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante de la matemática moderna. Es normal en el contexto matemático, por simplificación, simplemente llamarlo cálculo. El cálculo,… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”