Integral elíptica de primera especie

Integral elíptica de primera especie

Una integral elíptica de primera especie es un caso particular de la integral elíptica. Existen integrales elípticas de primera especie, completas e incompletas. Las primeras dependen de una sola variable y las segundas dependen de dos variables.

Contenido

Integral elíptica completa de primera especie

La integral elíptica completa de primera especie K se define como:

K(x) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} = \int_{0}^{1} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-x^2 v^2)} }

y puede calcularse por medio de la media aritmética geométrica, o mediante la serie de Taylor:

K(x) = \frac{\pi}{2} \left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 x^2+ \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 x^4+ \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2 x^6 + \dots \right]

La serie anterior converge para |x| < 1\;.

El método de la media aritmética geométrica tiene la ventaja de que genera una serie que converge de forma extremadamente rápida. Para aplicarlo basta con inicializar el algoritmo de la media aritmética geométrica con los siguientes valores:

a_{0} = 1 \quad \mbox{y} \quad g_{0} = \sqrt{1-x^2}

K(x) se obtiene a partir del enésimo valor an mediante:

K(x)\approx \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{a_n}

Normalmente basta con computar los 5 ó 6 primeros términos de la serie para alcanzar una precisión en el resultado suficiente para cualquier uso práctico. Conseguir lo mismo, por ejemplo, con la serie de Taylor, requeriría calcular un número muy superior, sobre todo según |x| se acerca a 1.

Integral elíptica incompleta de primera especie

La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como:

u = F(x,\varphi) = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{dv}{ \sqrt{(1-v^2)(1-x^2 v^2)} } = F_x(\varphi)

En este caso el parámetro φ = am(u) se llama "amplitud" y si se toma x como un parámetro. Esta "amplitud" viene dada por la inversa de la función anterior F. Las funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta amplitud.

Transformación de Landen

La transformación de Landen permite expresar integrales elípticas incompletas de un parámetro en integrales elípticas de otro parámetro diferente. Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ1 y una nuevo parámetro k1, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro k mediante:

k_1 = \frac{2\sqrt{k}}{1+k} \qquad \tan \varphi = \frac{\sin 2\varphi_1}{k+\cos 2\varphi_1}

Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (k1,φ1) y (k,φ) dada por:

F(k,\varphi) = \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta}} = \frac{1}{1+k} \int_0^{\varphi_1} \frac{d\theta_1}{\sqrt{1-k_1^2\sin^2 \theta_1}}

Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites. Si definimos las sucesiones:

k_i = \frac{2\sqrt{k_{i+1}}}{1+k_i} \qquad \tan \varphi_i = \frac{\sin 2\varphi_{i+1}}{k+\cos 2\varphi_{i+1}}

Entonces tenemos que:

F(k_0,\varphi_0) = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}} \int_0^\Phi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{k_1k_2k_3\dots}{k_0}} \ln \tan \left( \frac{\pi}{4}+ \frac{\Phi}{2} \right)

Donde:

\Phi = \lim_{k \to \infty} \varphi_k

Véase también


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