- Intersección de conjuntos
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La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenencen tanto a A como a B.
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :
- P = {2, 4, 6, 8, 10,...}
- C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
- D = {4, 16, 36, 64, ...}
La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.
Contenido
Definición
Intersección de dos conjuntos A y B.Dados dos conjuntos A y B, la intersección de ambos, A ∩ B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
LA intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :
Ejemplo.
- Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.
- Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.
- Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.
Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:
Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:
Generalizaciones
La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:
La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:
Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como:
De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:
- A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B}
- A1 ∩ ... ∩ An = ∩M, donde M = {A1, ..., An}
La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:
donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {Ai: i ∈ I}.
Propiedades
De la definición de intersección puede deducirse directamente:
- Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A :
- A ∩ A = A
- La intersección de Ay B es un subconjunto de ambos:
- A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B
- La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:
- B ⊆ A implica A ∩ B = B
La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:
- Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C :
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :
- A ∩ B = B ∩ A.
- Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:
- A ∩ ∅ = ∅
Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.
En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
- A ∪ (A ∩ B) = A
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
- A ∩ (A ∪ B) = A
Teoría axiomática
En teoría axiomática de conjuntos, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos es consecuencia del axioma especificación.
Referencias
- Dorronsoro, José; Hernández, Eugenio (1996). Números, grupos y anillos. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. ISBN 84-7829-009-5.
- Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
Véase también
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