Isomorfismo musical

Isomorfismo musical
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En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente TM y el fibrado cotangente T * M de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Contenido

Introducción

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial g \in \mathcal{T}_2(M) que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector v_p \in T_p M, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

\hat{g}_p : T_p M \longrightarrow T^*_p M

definido por:

\hat{g}_p(v_p) = g(v_p,-)

es decir,

\langle \hat{g}_p(v_p),\omega_p \rangle = g_p(v_p,\omega_p)

Globalmente,

\hat{g} : TM \longrightarrow T^*M

es un difeomorfismo.

Motivación para el nombre

El isomorfismo \hat{g} y su inversa \hat{g}^{-1} se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como \alpha^i \frac{\partial}{\partial x^i} y un covector como αidxi, así que el índice i sube y baja en α del mismo modo que los símbolos sostenido (\sharp) y bemol (\flat) suben y bajan un semitono.

Gradiente

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:

\nabla f = \mathrm{grad}\;f = \hat{g}^{-1} \circ df = (df)^{\sharp}

Véase también

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo_musical»

Wikimedia foundation. 2010.

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