Función diferenciable

Función diferenciable

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Contenido

Definición

Una función de varias variables se dirá diferenciable en x_0\in\mathbb{R} ^ n si f: \Omega \sub \mathbb{R} ^ n \to \mathbb{R} ^ m, siendo Ω un conjunto abierto en \mathbb{R} ^ n, si existe una transformación lineal T\, que cumpla:

f(x_0+h) = f(x_0)+ T(h)+\theta(h)\;

Donde θ(h) cumple que:

\lim_{h \to 0} \frac {\lVert \Theta(h) \rVert} { \lVert h \rVert} = 0

o sea θ(h) tiende a cero "más rápido" que función lineal, cuando h tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal T\; es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

\lim_{h\to 0} \frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)\|}{\|h\|}=0

Visualización Geométrica

Para fijar ideas, usando una función f:\mathbb{R} ^ 2 \to \mathbb{R} cuyo gráfico sería una "sábana". La función es diferenciable si la "sábana" no está "quebrada" en los puntos donde es diferenciable, o sea la función es "suave" en todos los puntos de su dominio, existiendo la matriz jacobiana o derivada en esos puntos.

Ejemplos

De función diferenciable

La función f(x,y) es diferenciable, si x ,y son diferentes de 0 puesto que existen las derivadas parciales en un entorno de cualquier punto y son continuas en él:

f(x,y) = e^{x+y}\;

De función derivable no-diferenciable

En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas según las variables x e y, e incluso derivadas direccionales, sin embargo no es diferenciable en (0,0):

g(x,y)=\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}

De función no-continua y no-diferenciable

La función h(x,y)\; no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto a pesar de que existen derivadas parciales de cualquier orden en el punto (0,0):

h(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^4}

Referencias

  • Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Véase también

  • función derivable (caso de una función de una variable.)

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Función convexa — en un intervalo [x,y]. En matemática, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si para dos puntos cualquiera x e y es su dominio C …   Wikipedia Español

  • Función Lipschitz continua — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, una función f : M → N entre espacios métricos M y N es llamada Lipschitz continua (o se dice que satisface una condición de Lipschitz) si existe una constante K > 0 tal que d(f(x), f(y)) ≤ K… …   Wikipedia Español

  • Función cóncava — En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.[1] Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa. Contenido …   Wikipedia Español

  • Función — (Del lat. functio, onis.) ► sustantivo femenino 1 BIOLOGÍA Actividad o capacidad de acción específica de un ser vivo y de sus órganos: ■ la función del riñón; la función clorofílica. 2 Desempeño de un cargo u oficio: ■ el vicepresidente desempeña …   Enciclopedia Universal

  • Función lipschitziana — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

  • Función de Weierstrass — en el intervalo [−2, 2]. La función tiene un comportamiento fractal. La función de Weierstrass es muy particular. Su nombre, por supuesto es por su mentor, quien la publicó por primera vez, Karl Weierstrass. Está definida en la recta y toma… …   Wikipedia Español

  • Función continuamente diferenciable — Una función continuamente diferenciable. En análisis matemático, una clase diferenciable es una clasificación de una función de acuerdo a las propiedades de sus derivadas. Clases diferenciales de orden superior corresponden a la existencia de más …   Wikipedia Español

  • Función holomorfa — Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo diferenciables en cada punto. Esta… …   Wikipedia Español

  • Función definida a trozos — En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función… …   Wikipedia Español

  • Función distancia con signo — En matemáticas la función distancia con signo mide cuan cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otrogándole un signo según el punto se encuentre de un lado o de otro del conjunto S. donde es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”