Lema de Euclides

Lema de Euclides
Portada Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

El lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización de la proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lema asegura que:

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces n divide al otro factor.


Esto puede escribirse en notación moderna como:

\mbox{Si } n \mid ab \mbox{ y } \operatorname{mcd}(n,a)=1, \mbox{ entonces } n \mid b

La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que:

Si p es un número primo y divide al producto de dos enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de los números.


En notación moderna

\mbox{Si } p \mid ab \mbox{, entonces } p \mid a \lor p \mid b

El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética.

Contenido

Demostración

  • Supongamos, sin pérdida de generalidad, que p es coprimo con a y veamos que p divide a b. Por definición, p y a

son coprimos si y sólo si mcd(a, p) = 1; y la identidad de Bézout nos asegura que existen números enteros x e y tales que:

 ax+py=1 \,\!
  • Que p divida a ab significa que existe un número entero r tal que pr = ab. Volviendo a la primera ecuación y multiplicando en ambos miembros por b, se obtiene:
 b(ax+py)=b \,\!
  • y, en consecuencia
 bax+bpy=b \,\!
  • Sabiendo que pr = ab, se obtiene
 prx+bpy=b \,\!
  • sacando p como factor común, queda:
 p(rx+by)=b \,\!
  • como rx+by es un número entero, se concluye que p divide a b. Q.E.D.

Véase también

Referencias

  • Trygve, N. (2001). Introduction to Number Theory. New York: Chelsea. ISBN 0-8218-2833-9
  • Tom M., Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • Lema de Euclides — Enunciado Si p es un numero primo y divide a un producto ab y es co primo con uno de los factores entonces p divide al otro factor …   Enciclopedia Universal

  • Lema (matemáticas) — En matemáticas, un lema es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general. El término proviene del griego λήμμα, que significa cualquier cosa que es recibida …   Wikipedia Español

  • Teorema de Euclides (desambiguación) — Diversos teoremas matemáticos deben su nombre al matemático griego Euclides: El lema de Euclides, sobre la divisibilidad por números primos. El teorema de Euclides, sobre la infinitud de los números primos. El teorema de la altura (también… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Euclides — Para otros usos de este término, véase Teorema de Euclides (desambiguación). El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente: El conjunto formado por los números primos es infinito. Euclides ( 325 265 a.C) …   Wikipedia Español

  • Teorema fundamental de la aritmética — En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,… …   Wikipedia Español

  • Demostraciones del pequeño teorema de Fermat — Saltar a navegación, búsqueda En este artículo se recogen unas cuantas pruebas del pequeño teorema de Fermat, que establece: Si a es un número natural y p un número primo, entonces ap ≡ a (mod p). Este teorema es un caso especial del …   Wikipedia Español

  • Número primo — Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número …   Wikipedia Español

  • Disquisitiones arithmeticae — Saltar a navegación, búsqueda Página del título en la primera edición Disquisitiones Arithmeticae es un libro de teoría de números escrito por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando tenía 21 a …   Wikipedia Español

  • Teorema de la raíz racional — En álgebra, el teorema de la raíz racional (o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las soluciones racionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros: Si a0 y an son diferentes de cero, entonces cada… …   Wikipedia Español

  • Matemáticas — Euclides, matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.[1] Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y este del …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”